数理化自学丛书 三角 ==========第1页========== 01241;2 统一书号：13171215定价：0.71류 ==========第2页========== 数理化自学丛书 三 角 数理化自学丛书编委会数学编写小组编 上海人不收版壮 ==========第3页========== 数理化自学丛书 三 角 数理化自学丛书编委会数学编写小组编（原上海科技版)上海人人女：灶出版（上海绍兴路5号)广西人人本成从重印 广西k孝专在发行广西民族印刷厂印刷 开*787×10121/32印张10.75字徽z350001963年10月第1能177年11月新1兼1978年4月广西岸1次印黄统一书号：13171215定价：0.71元 ==========第4页========== 内容提要 本书是数理化自学丛书中的一本，介绍中学三角课程的全部内容，只要具备平面几何和代数的初步知识即可阅读。本书叙述浅显易懂，对关键性问题讲解得特别详细，对于不易理解的内容适当分散，使逐步深入。书中附有大量习题可作为练习.书中用小一号字体排印的某些章节，初次阅读时如有困难，可以暂时略去。题号前附有号的，是较难的题目，初学时可以暂时不做。 本书可供青年工人、知识青年、在职干部自学之用，也可供中等学校青年教师参考。 ==========第5页========== 重印说明 《数理化自学丛书》是一九六六年前出版的、计有代数 四册，《平面几何》二册，《三角》一册，《立体几何》一册，《平面解析几何》一册；物理》四册；《化学》四册.这套书的特点是：比较明白易懂，从讲清基本概念出发，循序前进，使读者易于接受和理解，并附有不少习题供练习用.这套书可以作为青年工人、知识青年和在职干部自学之用，也可供中等学校青年教师教学参考，出版以后，很受读者欢迎.但是在“四人帮”及其余党控制上海出版工作期间，这套书横被扣上所谓引导青年走白专道路的罪名，不准出版 英明领柚华主席和党中央一举粉碎了祸国殃民的“四人帮”.我国社会主义革命和社会主义建设进入新的发展时期.党的第十一次全国代表大会号召全党、全军、全国各族人民高举毛主席的伟大旗帜，在英明领袖华主席和党中央领导下，为完成党的十一大提出的各项战斗任务，为在本世纪内把我国建设成为伟大的社会主义的现代化强国，争取对人类作出较大的贡献，努力奋斗.许多工农群众和干部，在党的十一大精神鼓舞下，决心紧跟英明领袖华主席和党中央，抓纲治国，大干快上，向科学技术现代化进军，为实现四个现代化作出贡献，他们来信要求重印《数理化自学丛书》.根据读者的要求，我们现在在原书基础上作一些必要的修改后，重新出版这套书，以应需要、 十多年来，科学技术的发展是很快的.本丛书介绍的虽仅是数理化方面的基础知识，但对于应予反映的科技新成就方面内容，是显得不够的。同时，由于本书是按读者自学的要求编写的，篇幅上就不免有些庞大，有些部分也显得有些烦琐.这些，要请读者在阅读时加以注意 对本书的缺点，希望广大读者批评指出，以便修订时参考 一九七七年十一月 ==========第6页========== .录 重印说明 函数间的关系…66 第一章锐角的三角函数…1 $29已知一个三角函数的 §1·1锐角的三角函数的定义…1 值，求角…70 §12已知某锐角的一个三角 §2,1090°+4,270°-x,270° 函数，求作这个角…6 十a与锐角a的三角函 813余角的三角函数…9 数间的关系…73 §1430°，45°，60°角的三角 §2·11诱导公式的一般性77 函数…11 §2.12同角的三角函数间的关 815间隔为1°的三角函数表16 系…82 816角由0°变到90°时，三 本章提要44…89 角函数的变化…19 复习题二…90 817四位数学用表中的三角 第三章三角函数的图象和性 函数表…23 质…93 81·8直角三角形的解法…29 §3…1孤度制…93 本章提要……36 §3·2用线段表示三角函数…98 复习题一…38 §3·3三角函数的图象…102 第二章任庶角的三角函数…41 834三角函数的定义域…112 §21大于90°的角和负角…41 §3.5三角函数的性质…115 §2…2直角坐标系…44 836一般正弦函数 82·3任意角的三角函数…49 y=A8in(nc十a)的图象13 §24三角函数值的符号…53 本章提要……129 §2.5已知某角的一个三角函 复习题三……131 数的值，求作角…55第四章加法定理和它的推论133§26外360°+a与任意角ax §4·1两角和的正弦和余弦…133 的三角函数间的关系…59 §4·2两角和的正弦公式和余 §2.7180°-a,180°+4,360° 弦公式的一般性…136 一a与锐角a的三角函 §43两角和的正切和余切…141 数间的关系…60 §44两角差的三角函数…143 828一a与任意角a的三角 §4·5二倍角的三角函数…146 ==========第7页========== 景4.6￥角的三角函数…153 §67已知两边和它们的夹角， §4·7三角函数的积化为和…158 利用对数解斜三角形213 §48三角函数的和化为积…161 §6…8半角定理…222 §49'化a sin a+bco8x成一 §69已知三边，利用对数解 个角的正弦…167 斜三角形…225 §4·10三角形内角的三角函数 §610三角形的面积…228 间的关系…169 §6.11三角形的外接圆的半 本章提要…172 径……232 复习题四…174 §612三角形的内切圆的半 第五章斜三角形的解法…176 径…234 §5·1斜三角形解法的分类…176 本章提要…237 §5.2正弦定理…177 复习题六…238 85·3已知两角和一边，解斜 第七章反三角函数…241 三角形…180 §7.1反函数…241 §5·4已知两边和其中一边的 §7.2反正弦……248 对角，解斜三角形…183 §73反余弦…249 §55余弦定理…191 §74反正切…254 §56已知两边和它们的夹 §7.5反余切…259 角，用余弦定理解斜三 §76反三角函数的三角运 角形…195 算……262 §57已知三边，用余弦定理 §77反三角函数间的基本关 解斜三角形…197 系…266 本章提要…201 本章提要…270 复习题五…202 复习题七…271 第六章利用对数解三角形…204第八章三角方程…273§61三角函数对数表…204 §8.1最简三角方程…273 &6·2利用三角函数对数表进 §8·2只含同角的同名三角函 行计算……207 数的三角方程…278 §63利用对数解直角三角 §83可化成含同角的同名二 形………209 角函数的三角方程…282 §64已知两角和一边，利用 §8·4可化成一边为零而另 对数解斜三角形…212 边是若干个因式的积的 §65已知两边和一边的对角， 三角方程…285 利用对数解斜三角形…214 §8.5形如a&inx+bcos a=c §66正切定理…217 的三角方程的解法…289 ==========第8页========== §8.6in和cos的齐次方 复习题八…30昭 程的解法…292 总复习题304 §8·7三角方程的图象解法296习题答案…316本章提要301 ●i● ==========第9页========== 第一章锐角的三角函数 §11锐角的三角函数的定义 从平面几何学中，我们知道： 在直角三角形中，如果一个锐角等于0°，那末这个锐角所对的直角边等于斜边的一半.换句话说，也就是，30°的角 所对的直角边和斜边的比等于是、这个性质同三角形的大 小是没有关系的、 三角学首先要研究这样的问题：如果直角三角形的锐角不是30°，而是任何其他的锐角，它的对边和斜边的比是不是也有确定的值呢？ 我们来看图11.在这个图中，我们看到，以A为端点的 两条射线AD和AE组成了一 个锐角.如果从AD上任意的 点B,B,B,…作AE的垂 By 线1BC,B'C”,BC,…,那 B 末，就得到一连串的直角三角 形ABC,AB'O,ABC,等 等.因为这些直角三角形有一 个公共角A,所以它们是相似 CC 的 图11 我们知道，相似三角形对应边的比是相等的，所以在直角 ==========第10页========== 三角形ABC和AB'C”中，就有 BC AB 因而 BC B'Ci AB AB· 同样可以知道 B'C BC ABABm· 因此， BC B'CB"C A范AB ABIT 就是，在所有的直角三角形中，∠A的对边和斜边的比都是 相等的.换句话说，只要∠A的大小确定，那末，在用它做一 个锐角画出的直角三角形中，∠A的对边和斜边的比就是一 个确定的数. 当某一个量确定的时候，和它有关的另一个量如果有确定的值，那末，我们就把第二个量叫做第一个量的函数 例如，当正方形的边长a有确定的值的时候，正方形的面积2就完全确定了.这里正方形的边长是一个量，正方形的面积是另一个量.我们说，正方形的面积是边长a的函数. 又如，假定圆的直径用d表示，那末圆的周长就等于心d。这里，圆的直径是一个量，圆的周长是另一个量.因为当圆的直径有确定的值的时侯，圆的周长也就确定，所以我们说，圆的周长是直径d的函数.· 同样，在图11中，∠A是一个量；当这个量有确定的值 的时候，在用它做锐角所画出的直角三角形中，也有一个量跟着确定了、这个量就是上面所说的对边和斜边的比、因此我 们可以说，在直角三角形ABC中，∠A的对边和斜边的比 AB是∠A的函数。B ==========第11页========== 我们要注意，正方形的面积可以根据边长&计算出来；圆的周长也可以根据直径d计算出来.所以看到算式，就知道它是a的函数；看到算式πd,也就知道它是d的函数、.但 是肥却不能简单地用一个算式根据∠A的度聚计算出米. 为了要说明部是∠4的函数，我们应用一个专门的记号“sinA”来表示.记号“ginA”读做“∠A的正弦”. 以后看到“ginA”这个记号，就应当联想到它就表示：在 以∠A为锐角的直角三角形中，∠A的对边和斜边的比，就是 inA=∠A的对边 斜边 为了方便，我们通常用C表示直角三角形ABC的直角， 并且用小写字母a表示∠A的对边，b表示∠B的对边，c表示斜边（图1·2）.这样就有 sin A=@ 一个直角三角形有三条边。任意取两条可以组成六个不同的比。它们是 图12 ab G a 大家很容易想到，不但：跟着∠A的大小而确定，其他五个 比-一定也是跟着∠A的大小而确定的. 第一个比。已经把它叫做∠A的正弦了.其他五个比 也都是∠A的函数.我们都给它们规定一个名称。现在把所 3 ==========第12页========== 有六个函数的名称、定义和记号，一起列在下面的表里. 函数的名称 记 号① 定 义 ∠A的正弦 sin A sin 4-∠A的对边=4 斜边 ∠A的余弦 cos 4 cosA=∠A的邻边② b 斜边 ∠A的正切 tg A gA=∠A的对边 A的邻边=6 ∠A的余切 ctg 4 ctg 4=-∠A的邻边=b ∠A的对边a ∠A的正割 sec A 8ec4-斜边 ∠A的邻边五 ∠A的余割 cosec A C0eC且 斜边 ∠A的对边 ∠A的所有这些函数，总起来叫做∠A的三角函数 知道了锐角三角函数的定义以后，自然会引起下面的间题：已有了一个锐角，怎样算出它的三角函数值呢？我们举例说明如下： 例1.求35°角的三角函数值. [解】用量角器作一个5°的角A(图13).过∠A的一 边上任意一点B,例如取AB=10厘米，向另一边作垂线B0. 尽可能准确地量出直角三角形的其他 两边的长，得BC=5.7厘米，AC=8.2 厘米.于是，我们就可把测量和计算 363 的结果写成下面的形式： A=35°， :图13 a=6.7,b=8.2,c=10 ①表示∠A的正切、余切和余制的记号，有些书上分别写做tanA,cotA,csc 4. @在直角三角形ABC里，锐角A夹在斜边c和直角边b之间.直角边b 可以简单叫做∠A的邻边， ==========第13页========== in8°-8-5,7-0.57 c10 c0s35°=b=8.2 c10=0.82 g35°=0=5.7 D8.2=0.70; ctg36°=2=82-1,4， a5.7 086°-8=39=1.2 c080036°=9=0=1.7. 5.7 因为我们量a和b的长，都只量出两个数字，所以根据它们算出来的结果，从第一个不是零的数字起，也只有开头两个数字是可以信任的，以下就四舍五入. 在画直角三角形的时候，取c=10厘米，只是为了计算正弦和余弦的值可以方便一些.我们也可以取其他的值. 例2.在直角三角形ABC中，已知a=4,b=5,求∠4的正弦，余弦，正切和余切， [解]先根据几何学里的勾股定理算出 c/a+b=√4+5=√41， 然后根据二角函数的定义，求得 sin A-a=44 6V=4红V红 w4-2-in景m, tgA=a4otg A=b5a4。 ==========第14页========== 习题11 1.求50°角的六个三角函数值. 2.已知a=40,c=41;求∠A的六个三角函数值. 3.已知a=5,b=12;求∠A的正弦，余弦，正切和余切.当=10， ·b=24时，∠A的这些三角函数值有没有变化？为什么？ 4.已知斜边AB等于直角边AC的三倍；求∠A的正弦，余弦，正 切和余切。 5.已知a=号b;求∠A的正弦，余弦，正割和余湖. 6.已知a=2mn,b=m2-n2；根据定义求∠A的正弦，正切和正 割及∠B的余弦，余切和余割.比较它们的结果，你发现了什么？ *7.已知a=2√mn,c=m+m(m>物>0)；求inA,co8A和(inA)2+(co3A)的值. §12已知某锐角的一个三角函数，求作这个角 在上一节的例1中，已知一个锐角，我们用画图的方法求出了这个角的三角函数的近似值.现在我们研究相反的问题：已知某一锐角的一个三角函数，怎样画出这个锐角？举例说明如下： 例1.已知一个锐角的正弦等于膏，求作这个锐角。 【解一个锐角的正弦，就是在以它做一个锐角的直角 三角形中，这个角的对边和斜边的比.现在已知它的正弦的 值是吾要画出这个锐角，就应当画一个直角三角形，使一条直角边和斜边的比等于吾，这样，这条直角边的对角就是 所求作的角。 6● ==========第15页========== 因此，我们可以任意取一个长度单位（例如1厘米），作 B0=4厘米（图1.4）.从C作BC 的垂线CD.·以B为圆心，以5 厘米为半径，作弧交CD于A,并 且连结AB.这时，直角三角形 ABC中，∠BAC就是所求作的 锐角. 用量角器可以量得这个角约 等于53°（简写做∠A≈53）. 例2.已知一个锐角的余弦等于0.79，求作这个锐角. 图·14 [解10.79就是79 100.为了使图形不要画得太大，我们 可以取1毫米(就是。厘米)作为长度单位. 因为锐角的余弦，就是在直角三角形中，这个角的邻边和 斜边的比，所以我们先作AC=79毫米（图15），从C作AC 的垂线OD,然后以A为圆心，以100毫米为半径作孤交CD 图15 图16 ==========第16页========== 于B,并且连结AB.∠A就是所求作的锐角。 用量角器可以量得∠A≈38°. 例3.已知gA一2,求作锐角A. 【解]我们把2号与成名取适当的长度单位1图 16),作直角C.在它的一边上截取0B=7亿，在另一边上截 取CA=3.连结AB.那末，直角三角形ABC中的∠A就是 所求作的锐角. 例4.已知ctgA1.4,求 作锐角A. 【解]这里，1.4=14 10 取适当的长度单位？.我们 图1.7 在直角C(图17)的两边上分 别取AC=7L,CB=.连结AB.直角三角形ABC中的∠A 就是所求作的锐角、 从上面的这些例题中，我们看到，要画出具有已知三角函 数值的锐角A,它的一般步骤是： 把已知的三角函数值表示成分数心的形式. e 知 直角三角形的边长 sin Am a=m, C三外 co8且= 、C心弹 2 b一m, gA二地 a=m; b=外 cig A-m b=m, 亿% ==========第17页========== 选取一个适当的长度单位，画直角三角形ABC,使∠C 是直角，并且使∠A,∠B和∠C的对边a,b和c分别适合于上面表中的条件. 这样，直角三角形ABC中的角A就是所求作的锐角 习题1·2 1.已知一个锐角的正弦等于0.5，作出这个锐角；并量置看大约等于多少度？ 2.已知cosA=0.7,作出锐角A;并量出它的近似值. 3.已一个锐角的正割等于1.5；求作这个锐角. 4.已知cosec 4=2;求作锐角A. 5.已知培A=:作出锐角4，并录出它的近似位。 6.已知c电A=看；作出锐角A,并和前题中所求的角作比较， §1·3余角的三角函数 在§11中我们已经知道，每一个锐角都有六个三角函 数.在图18的直角三角形ABC中，除了∠A是锐角以外， ∠B也是锐角.因此，∠B也 有六个三角函数.根据§11 B 中讲过的三角函数的定义， 可以知道∠B的六个三角函 数是 sinB-∠B的对边=b 斜边 cosB=∠B的邻边-a 斜边 图18 ==========第18页========== gB=∠B的对边= ∠B的邻边.e tgB=∠B的邻边 ∠B的对边 斜边 se0B=∠B的邻边a cosec B=_ 斜边 ∠B的对边 我们把∠B的三角函数和∠A的三角函数比较一下。例 , sin B= 但 b cog A- 因此， sin B=cos A. 同样可以得到 cos B=sin A; tg B=ctg A; ctg B=tg A; sec B-cosec A; cosec B=seo A. 直角三角形的两个锐角互为余角；也就是，它们的和等于 90°.所以∠B=90°-∠A.在上面的六个等式里，用90°一 ∠A代替∠B,便得到 8in(90°-A)=c08A; cog(90°-A)=ginA; tg(80°-A)=ctgA; ctg(80°-A)=tgA; 8ec(80°-A)=c08ecA; c08ec(80°-A)=8ecA, 10 ==========第19页========== 通常我们把正弦和余弦互相叫做余函数，就是正弦是余弦的余函数，余弦也是正弦的余函数.同样，也把正切和余切互相叫做余函数，正割和余割互相叫做余函数.这样，上面的 六个公式，就可以概括成一句话：锐角A的余角的三角函数 等于锐角A的余函数. 例1.已知sin35°=0.57，求c0s55°， [解1c0g55°=c0s(90°-35)=inm35°=0.57. 例2.设A,B和C是一个三角形的三个内角，求证 血4生8-6s分2 【证]因为A+B+C=180°，所以A+B=180°-C.因 此， m4gB=血180g2C-sm(00-g）-6as2 2 习题13 1.已知tg2148'=0.4;求ctg6812. .已知血30-号，血5=号，血60-2;求c0s30, cos45°，cos60°的值. 3.将cos71°，ctg4510,coc89°化成小于45°的锐角的三角函数. *4.求证对于任何小于45°的锐角x,·等式cos(45°+x)=in(45°一)都成立. §1430°，45°，60°角的三角函数 在§11的例1中，我们已经看到，当已知一个锐角的度数，要找出它的三角函数时，可以用画图的方法来解决.当然， ==========第20页========== 这样做，我们只能求得很粗略的近似值. 但是，30°，45°，60°角的三角函数，却可以利用几何学上的简单性质，求出它们的谁确值 1.0°角的三角函数在平面儿何中，我们知道，当直角 B 三角形ABC的角A=30°时，c=2a(图19)，因此， c2a Bin A-a=a1 a2· 20° b=N3a 为了求出cosA,必须先求出b: 阁图19 利用勾股定理，得 b=√c2-a2=√(2a)-a=√3a=√3a.因此， 08A-b=√3a-√3 c 2a· 其他四个函数，同样可以根据它们的定义从图1·9求出，结果是 g4号-8。得， etgA-b-√⑧a=√B;awA-君-。 22√3 √33 、c0688A=9-2a=2. g 所以30°角的三角函数是 如80一：co830°=V3 2￥ g0°=V√③ 3 ctg30°=√8；6030°=2Vg 3；C096030°=2. ·12◆ ==========第21页========== 2.45°角的三角函数在直角三角形AB0中，∠A 45°（图110）.那末， ∠B=90°-∠A=90°-45°=45°. 所以 ∠B=∠A. 因而 b=a. c/2a 根据闪股定理，得c=va+b2-va2+a =√2a=√/2a. b=a 所以 图1.10 sinA=8=&=1y2 cW/2a√22i c08A=b-=_1=√2 c2a 22itgA-a-a-1; b a ctga-b-a=1; oA=分-Vga-V2, os00A=9-V2a=√z. 就是 in45°=V√2 2cs45°= 2 g46°=1； ctg45°=1； sec45°=√2； c0se045°=√2， 3.60°角的三角函数因为60°角是30°角的余角，所以60°角的三角函数，可以利用30°角的函数来求，就是 13 ==========第22页========== in60°=sin(0°-30)=co830°=√3 2常 co0s60-c8(80°-80）=n80°e: g60°=g(90°-30)=ctg30°=√③； ctg60°=ctg(90°-30）-=tg30°=V3 ·3； sec60°=sec(90°-30°)=c09ec30°=2；c086c60°=c0sec(90°-30)=se030°=2W3 3 当然，利用图1·9中三边的关系求∠B的三角函数，也能 够得到上面的结果 30°，45°，60°角的三角函数，特别是每一个角的正弦，余弦，正切和余切四个函数，用处很多.要记住这些函数的值，最好不要硬背.我们可以记住下面三个图形（图1·11）：在这些图形中，我们用了最简单的数字表示直角三角形各边的长.·如果对这三个图形有深刻的印象，那末，我们就不难根据各个三角函数的定义，正确地说出每一个函数的值. 2 45 60° 30° 图111 从图形上求得的角的函数值，当分母有根号的时候，要把它化去，目的是为了便于算出用小数表示的近似值.例如： 014● ==========第23页========== g30°=，3。m8≈1.7321≈0.674 N33 3 0845°=1=g≈1：4142≈0.7071， 22≈2 030060°=2=2y3≈2×1：7321≈1,1547. 33 3 象上面求得的有四位小数的近似值，平常使用起来，已经是足够精确的了. 例1.求g30°+gin245°一c0s60°的值. 习惯上，inA的平方不写做(sinA)2而写做sin2A.这里in245o就是sin45°的平方. [解]g30°+sin245°-c0s60° -+(豆-+- 3 3· 例2.求适合于下式的锐角c: W/2c0gG-1=0. 【解1√2c09x-1=0,√2c09x=1, .1 W2· ..x=45°. 习题14 1.算出下列各式的结果： (1)sin60°-cos260°+tg45°-sec230°； (2)sin45°cos45°+cosec60°sec45°， (3)tg30°ctg60°+cos230; (4)cos230°+in230°； 015● ==========第24页========== (5)sec260°-tg260°； (6)8in(60°-x)+c0sec245°-ctg2453-cos(30°+c); 0+· 2.求适合于下列各式的x: (1)tg然-√3=0； (2)2inx-√3=0； (3)2secx-√8=0； (4)V3ctg(10°+x)-1-0. 3.设∠A=30°，验证： (1)sin 24-2 sin A cos A; (2)cos 24=1-2 sin2 4; 8)g2=x2tg A 4.设∠A=45°，求gA-sin(7-A)cos A 的值. §15间隔为1°的三角函数表 除了30°，45°，60°角的三角函数以外，其他锐角的三角函数，要求得比较精确的值是不很容易的.为了便于使用三角函数，要学会怎样查现成的三角函数表. 第17页上的三角函数表，是0°到90°间整数度数的角的三角函数，精确到小数第四位.在这个表中，从左到右第一 行（它的上端标着A)所载的是角的度数：0°，1°，2°，3°，， 90°.第二行的上端标着正弦，第三行的上端标着正切，第四行的上端标着正割.这三行分别载着各个角的正弦，正切和正割精确到小数第四位的近似值. 例1.查表求g37°. 解]先在第一行中找到37°.在标着37°的横列和上端标着正切的直行交叉处所载的数是0.7536.所以 tg37°=0.7536. 由于co9A=sin(90°-A),所以c0g1°=sin89°，co92° ●16◆ ==========第25页========== 三角西教表(0°到90°间整数度数的角) A 正弦 正切 正制 正弦 正切 正制 0o 0.0000 0.0000 1.0000 90° 450 0.7071 1.0000 1.4142 450 0.0176 0.0175 1.0002 89° 0.0349 0.0349 1.0006 88o 46 0.7193 1.0355 ,4396 44° 0.0623 0.0524 1.0014 7° 4 0.7314 1.0724 .4668 499 0.0698 0.0699 1.0024 8648° 0.7431 1.1106 1.494542° 49° 0.7547 1.1504 .1.5243 0.08720.0875 1.0038 85 60° 0.7660 1.1918 1.5557 40° 0.1045 0.1051 1.0055 84° 0.1219 0.1228 1.0075 833 610 0.7771 1,2349 1.5890 39° 8 0.1392 0.1405 1.0098 82° 0.7880 1.2799 1,6243 38° 0.1564 0.1584 1.0125 81 530.7986 1.3270 1.6616 37° 4 0.8090 1,3764 10° 1.7013 360 01736 0.1763 1.0154 80° 559 0.8192 11° 1.4281 1.7434350 0.1908 0.1944 1.0187 79 12° 0.2079 0.2126 1.0223 78 56° 0.3290 1.4826 .7883 34° 0.2250 0.230p 1.0263 773 57° 0.8387 1.5399 1.836130 14o 0.2419 0.2493 1.0306 760 58 0.8480 1.6003 1.8871 32 59 0.8572 1.8643 9416 0.2588 0 819 .2679 1.0353 0 60 16° 0.8660 1.7321 .2867 74 2.0000 30° 0.2758 0 1.0403 17° 0.292 0.3057 01 1,0467 0.8746 1.8040 2 062729° 8 0.3090 0.3249 0515 72° 62 0.8829 1.8807 21301 8° 0.3256 0.3443 1.0576 71° 0.8910 1.9626 2027 27 64 0.8988 21° 2.0503 0.3420 0.3640 2 70° 28126o 21° 1.0642 65° 0.9063 2.1445 .3662 0.3584 25° 0,3839 1.0711 22° 69° 0.3748 0.4040 1.0785 68° 66 0.9135 2.2460 2,4588 24° 23° 0.3907 0.424 1.0864670 67 0.9205 2.3559 .5593 23, 24°0.4067 0.4462 1.0046 66° 685 0:9272 2,4751 2.6695 22° 69° 0.9336 25° 2.6051 7904 0,4226 0.4683 1.1034 65 70° 21° 0.9397 26° 2.7475 ,9238 0.4384 1.1126 200 0.4877 64 270 0.4540 0.5095 1.1223 63° 71° 0.9455 2.9042 .0716 19 280 0.4695 0.5317 1.132663° 72 0.9511 3.0777 3 ,2361o 29° 0 48480 .65431.1434 61°78° 0.9563 3.2709 4203 74° 17 0.9613 30°0 3.4874 5000 0 .6280 16a .5774 1,1547 60° 76°0.9659 81° 3.7321 0.5150 0.6009 5 3 8637 18° 1,1666 829 0.5299 .6240 1.1792 58° 76⊙ 0.8703 4.0108 4.1336 14o 33°0.8446 0.6499 11924 57° 770.9744 4.3315 4.4454 34°0559206745 1.2062 56° 78° 0.9781 4.7048 809712° 79° 85° 0.9916 5.1446 .5736 5.2408 0.7002 1.2208 650 11° 809 360 0.9848 6.6713 5.7588 100 0.5878 0.7265 1.2361 54° 37° 0.6018 0.7538 1.221 38° 0.61570.7813 ,2690 52081° 0.9877 6.3138 6. 3925 82° 0.9903 7.1154 7.1853 ° 39 0.6293 0.8098 1.2868 519 83° 0.9925 8.1443 8.2056 4° 0.9945 40? 9.5144 0.6428 0 9.5668 ,8391 1.3054 60085 6 0.9062 11.4301 41° 0.656 11.4737 0.8603 ,3250 49° 4 0.6691 0.9004 1,3456 48 86° 0.9976 14.3007 14.3356 300.68200.9325 13673 47 87° 0.9986 19.0811 19.1073 4 0,6947 0.9657 1.3902 46° 889 0.9994 38.6363 286537 8 45 0.9998 0.7071 57 .2900 1.0000 57.2987 8 4142 45 90° 1.0000 60 00 余弦 余切 余 余弦 余切 余 17 ==========第26页========== =in88°，….同样，ctg1°=tg89°，ctg2°=tg88°，c0s001°=se089°，c088)2°=sec88°，··.所以锐角的余弦，余切和余割的值，可以不必另外列出、 为了查起来方便，表的最右边一行也载着角度，但度数是按由下到上的方向增大的、同时，在上端标着正弦，正切或者正割的各行，在它们的下端分别标着余弦，余切或者余割.这样，求锐角的余弦，余切或者余割的时候，就可以在最右边的 一行找度数，在下端去找函数的名称. 例2.查表求c0s24°. 【解】在表的右边找到24°，下端找到余弦.在标着24°的横列和标着余弦的直行的交叉处，所载的数是0.9135.所以 c0s24°=0.9135. 注意按照表的这样排列，查锐角的余弦，余切或者余割时，就必须用最右边一行的度数，不可搞错. 用这个表，我们不但能够求出已知锐角的三角函数，并且反过来，也能从已知的三角函数值，求出对应的锐角.例3.已知sinA=0.8387,求锐角A. [解1在上端标着正弦的一行里，找到0.8387.横着看 左边第一行里对应的角度是57°.所以A=57°， 例4，已知ctgA=4.0108,求锐角A. 【解]在下端标着余切的一行里，找到4.0108.横着看 最右边一…行里对应的角度是14°.所以A=14° 注意由于已知的是余切的值，角的度数应当在最右边一行里找.如果已知的三角函数值不能在表中找到，但能够找到和它接近的函数值，那末所求角的度数就不是整数、在这种情形下，我们可以仿照下例求出角度精确到1度的近似值. ·18· ==========第27页========== 例5.已知secA=1.18,求锐角A. T解1在正割的一行里，找不到1.1800.但能够找到比 1.1800稍小的1.1792和比1.1800稍大的1.1924.对应于 这两个正割值的锐角分别是32°和33°.由此可知，锐角A在 32°和33°之间.因为1.1792同1.1800更接近，所以我们取 正割等于1.1792的那一个角作为角A的近似值.因此，A= 32°（精确到1°）. 习题1•5 1.查表求下列三角函数的值： (1)sin20°； (2)cos80°； (3)tg15; (4)ctg78; (5)ec18°； (6)cosec89°. 2.查表求下列各锐角a(精确到1)： (1)sina=0.3777; (2)c0sa=0.9901; (3)tga=0.8012; (4)ctga=1.0012; (5)seca=12.34; (⑥)cosec a-=81.09. 3.查表回答下列问题： (1)sin10°+sin35°是不是等于sin45°？ (2)cos70°-cos10°是不是等于c0s60°？ (3)g2.g15°是不是等于g30°？ *(4)用“>”或“<”号连结c0s18°，c0s36°，cos54°，cos72°.*(5)已知sinx=0.1000,sinB=0.2000,8iny=0.3000,试用“>”或“<”号连结a,B,Y. (6)3g20°是不是等于g60°？ (7)如果2sina=in30°，a是不是等于15°？ (8)已知ga=1.3105,gB=1.4291,a和B哪个大？又ctg32°和ctg41°哪个大？ §16角由0°变到90°时，三角函数的变化在第17页的三角函数表中，我们看到，当角由0°变到90° ·19· ==========第28页========== 时，它的各个三角函数都在变化.现在我们仔细研究一下它 们的变化情形. Be 我们把角看做是由一条射线绕着它的端点旋转而成的.在旋转开始时射线所在的位置叫做角的始边；在旋转终了时射线所在的位置叫做角的终边 B1 在图1·12中，射线由开始的水平位置旋转到铅直位置.这样 图1.12 就生成0°到90°的角.图中画出 了射线每旋转10°时所成的角的终边.在这些终边上，截取 相等的线段AB1,AB2,AB,…,经过B1,B,B,…,作始 边上的垂线BC,B2C2,BgC3,….根据角的正弦的定义，可以知道 sin B:AC:-BCL,sin BAC,-BC AB .. ,sin BA0-Bgos ABs 我们看到，在这些分数中，分母都相等，而分子逐渐增大.所以这些分数也逐渐增大.这就是说，当锐角增大时，它的正弦是逐渐增大的. 同样， COs B:AC C08 Bs40s-40 AB ,cos B40g=40g AB8· 在这些分数中，因为分母都相等，而分子逐渐减小，所以这些分数也逐渐减小.因此，当锐角增大时，它的余弦逐渐减小。 0.20.0 ==========第29页========== 。正切的变化，可以从下面的等式里看出： tg B:AC=B:C,ttg BaACBsOs AOs tg BsACg=BgOs ACs 在这些分数里，分子逐渐增大，分母逐渐减小.分子和分母的变化都使分数增大.所以当锐角增大时，它的正切逐淅增大. 至于余切，正割和余割的变化，也都可以用同样的方法看出来：当锐角增大时，余切逐渐减小，正割逐渐增大，余割逐渐诚小. 我们要特别注意当锐角变得愈来愈接近于0°和愈来愈接近于90°时，它的三角函数的变化情形 当直角三角形的锐角逐渐减小，接近于0°的时候，它的对边的长逐渐接近于0，而邻边的长逐渐接近于斜边的长.只要想一想各个三角函数的定义，就可以知道，这时锐角的正弦和正切逐渐接近于0；余弦和正割逐渐接近于1；而余切和余割将无限制地增大，通常我们说，趋近于无穷大. 当直角三角形的锐角变成等于0°的角时，对边的长等于0,邻边和斜边的长相等.因此，对于一个0°的角来说，我们 ·应该认为它的正弦和正切等于0余弦和正割等手1；而没有余切和余割，也就是，余切和余割不存在 同样可以看到，当锐角逐渐增大，接近于90°时，余弦和余切逐渐接近于0，正弦和余割逐渐接近于1，面正切和正荆将无限制地增大.等于90°的角的余弦和余切等于0，正弦和余割等于1，而正切和正割不存在. 由上面，我们能够清楚地知道，当角由0°变化到0°时， ·21 ==========第30页========== 它的三角函数的变化是： 正弦由0增大到1；余弦由1减小到0： 正切由0逐渐增大，当角等于90°时，正切不存在当角等于0°时，余切不存在，然后由正值逐渐减小到0正割由1逐渐增大，当角等于90°时，正割不存在；当角等于0°时，余割不存在，然后由正值逐渐减小到1.上面的结果可以列成下表： 0° 天 90° 正 弦 0 开 1 余 弦 1 0 正 切 0 不存在 切 不存在 0 正 割 1 不存在 余 割 不存在 1 表中向上的箭头“”表示逐渐增大，向下的箭头”表示逐渐减小。 1 化简sin90°+cosg0°+，例 sin90°+ctg90°， [解】sin90°+coe90°+1 sin90°+ctg90 =1+0+1+0=2, 习题16 1.不用查表，决定下列各差的符号： (1)sin50°-sin51°； (2)cos50°-c0s51°； (3)g17°一g18°； (4)ctg81°-ctg71°； (5)sec20°-sec21°； (6)cosec1°-cosec2°； (7)in50?-cos50°； (8)tg10-ctg80; ·22● ==========第31页========== (9)&e31-cosed59°；(10)sin42°-cos48°， 2.计算下列各题： (1)cos60°-tg0°+sin290°-cos0; (2)gin20°+cos20°； (3)ctg90°+cos90°； (4)see20°-tg20°； (5)cosec290°-ctg290°； (6)sincos30tg33 c0s30°ctg57° 3.在公式：sin(90°-A)=cosA,cos90°-A)=sinA,tg(90°一 A)=ctg A,ctg (90-A)=tg 4,sec (90-4)=cosec A,cosec (900- A)=$沁A中，(1)当A=0°时，哪几个仍旧正确？哪几个失去意义？ (2)当A=90°时，哪几个仍旧正确？哪几个失去意义？ §1·7四位数学用表中的三角函数表第17页上的三角函数表所载的是从0°到90°每差1°各角的三角函数的值.利用这表，只能查出整数度数角的三角函数，而且反过来由已知的函数值求得的角，只能精确到1°.在实际应用中，这张表是不够精确的. 读者可买一本“四位数学用表”（人民教育出版社出版）. 这本书里的表VIIL,表IX和表X的内容如下： 表VIII载从0°到90°每差6各角的正弦和余弦的值. 表IX载从0°到76°每差6各角的正切的值，和从14° 到90°每差6'各角的余切的值. 表X载从76°到90°每差1'各角的正切的值，和从0° 到14°每差1'各角的余切的值. 现在说明它们的用法如下： 1.由已知锐角求函数值我们以表VIII为例.下面是 表VII的一部分. ·23￥ ==========第32页========== i正 121824型3036 42485 60 之 350.57366750576467795793580758216835585058640.587854° 2 36° 5878589259085920593459485962597c59906004 G01853° 6 97° 6018803260480060G07460888101611561298143 67520 880 6157817081848198891162256239625262660280 629S51° 6 39° B2936307832063346347636163748388640164140.642850° 40°0.642864416455046864818494650805218536547 6561 41° 6561657465876600661366266639865266656678 66918 426 6691670467178730674367566769878287048807 68207 4 6 43° 6820883368456858687168848898'690969218934 694760 82222 4 44° 6947695969726984B997700970227034704070590.7071450 4 4e眼40 Oae.se小e海tee+t4t a◆00海40 e ◆业净n09ae 60' 64 4842 3630241812 6 余 弦 从上面的样表可以看到，表的排列和第17页上的三角函数表一样，也是利用互为余角的三角函数间的关系，使同一张表既可查正弦，也可查余弦.在查一个角的正弦的时候，应当 从左边标着A的直行和上端的横列中分别查出这个角的度 数和分数；而在查一个角的余弦的时候，应当从右边标着4的直行和下端的横列中分别查出这个角的度数和分数 例1，查表求in36°42 [解】从左边找到角的度数6°，上端找到角的分数 42.在36°的横列和42的直行的交叉处看到5976.这是36°42的正弦的小数部分.我们添上小数点，得 $in36°42=0.6976， 例2.查表求c0g49°30'. 【解]从右边找到角的度数49°，下端找到角的分数30'.在49°的横列和30'的直行的交叉处看到6494，得 c0849°30'=0.6494 当角的分数不是'的倍数时，可以从表的最右边三行查出函数的修正值，从而得到所求的函数值， ·24◆ ==========第33页========== 例3.查表求in40°26， 【解126'在24与30之间，靠近24.先查出 in40°24'=0.6481 因为40°26=40°24+2'，我们在标着40°的横列和标着2的直行交叉处查出修正值4.这是小数第四位的4。我们知道，锐角变大时，正弦增大.可见应当在in40°24= 0.6481的值上加上2的修正值，结果得 in40°26'=0.6481+0.0004=0.6486。例4.查表求in38°17， 解]17'在12与18之间，靠近18'.先查出 gin38°18=0.6198 但38°17=38°18一1'.在标着38°的一列里查出1'的修正值0.0002。因为角变小，正弦也减小，所以 in38°17'=0.6198-0.0002=0.6196，例5.查表求c0g5123. 【解]先查得c0s51°24'=0.6239.由于51°23'=51°24 一1'，我们再查出1'的修正值0.0002.因为较小角的余弦反而大，所以 c0851°23'=0.6239+0.0002=0.6241， 在例3里为了求in40°26，我们先查较小角4024的正弦；在例4里为了求in3817',我们先查较大角3818的正弦.这是因为已知角和这些角更接近的缘故、如果已知角的大小同表中所列的相差3，那末先查较小角的函数值，或者先查较大角的函数值，就没有关系. 例6.查表求c0s54°30， [解1因为39'跟36'和42都相差8，所以先查54°36或者先查54°42的余弦都可以.假定我们先查54°36的余弦，得 ==========第34页========== c0954°36=0.793， 由于54°39=54°36'+3，根据3的修正值=0.0007，因为角增大，余弦减小，所以 c0954°39'=0.5793-0.0007=0.5786， 用表IX查已知角的正切或者余切的方法和表VTII的 用法相同.只要注意当锐角增大的时候，正切增大而余切减小，我们把利用修正值，求已知角的函数值的方法小结一下： 由已知角求正弦或正切：较小角的函数值圳上函数的修正值；较大角的函数值减去函数的修正值. 由已知角求余弦或余切：较小角的函数值减去函数的修正值；较大角的函数值加上函数的修正值 当锐角大于76°时，它的正切增长得非常快.表X里列 出了76°到90°每相差1'的正切值（同时也就是0°到14°每相差1'的余切值)，因此就不需要列入修正值了。表x的查法是很简单的，这里不再举例 习题17(1) 1.查表求下列各三角函数的值： (1)in42°42'； (2)gin5958'; (3)co87119; (4)c0s55°41'； (5)tg75°30'； (6)g1111'; (7)ctg7954'; (8)ctg4329'. 2.当a=3233'时，验证不等式8ina+cos&>1和ina+coa<1.5是正确的. 3.查表计算sin22131'+cos22131'的值. 2。由已知函数值求锐角当已知的函数值能够在表中找到的时候，我们立刻就可以查出对应的锐角。这是没有困难的、例如： ·26· ==========第35页========== 已知inc=0.6428,挪末x=40°0.已知30sG=0.6600,那末c=48°42， 但是，如果已知的函数值在表中没有.那末，就要加上或者减去角度的修正值.下面举几个例子. 例7.已知sinc=0.5784,求锐角. 【解】在正弦表中查不到这个数.但能够找到同它最接近的数0.5779是sin35°18'.已知的正弦值比这个值大 0.0005,就是0.5784=0.5779+0.0005.在修正值表中查出，同0.0005对应的角度修正值是2.我们知道正弦函数值越大，对应的锐角也越大.因此，所求的角心比表中查出的角大2。所以答案是 c=35°18+2=36°20'， 例8.已知in心=0.6273，求锐角. [解】在正弦表中查出同已知函数值最接近的数 0.6280是in38°54.已知的正弦值比这个值小0.0007.在修正值表中查出同0.0007对应的角度修正值是3.因为正弦值越小，对应的锐角也越小，所以应当从38°54减去3.也就是 x=38°54-3=38°51' 例9.已知gin心=0.6235，求锐角c. 【解]在正弦表中查出0.6259=sin38°36.已知的正弦值比这个值小0.0004.所以应当从3836'减去对应于 0.0004的角度修正值.但在修正值表中只能查得对应于 0.0002,0.0005和0.0007的角度修正值.在这三个数中，同 0.0004最接近的是0.0005.我们取对应于0.0005的角度修正值2。因此， c=38°36'-2=38°34 27◆ ==========第36页========== 例10.已知c03G=0.6580,求锐角c. [解]从表中查得0.6587=c0848°48，已知的余弦值比查得的余弦值小0.0007，这说明所求的角比查得的角大.因此，对应于0.0007的角度修正值3'应当加到48°48上去.也就是 c=48°48+3'=48°51'. 利用表X由已知的正切或余切值求锐角时，角度修正 值的加减法则，与正弦和余弦的情况相同 下面我们列出由已知的函数值求锐角时，角度修正值的加减法则： 由已知的正弦或正切值求锐角：对应于较小函数值的角加上角度修正值；对应于较大函数值的角减去角度修正值，由已知的余弦或余切值求锐角：对应于较小函数值的角减去角度修正值；对应于较大函数值的角加上角度修正值，当对应于已知正切值的角在76°到90°的范围里，或者对应于已知余切值的角在0°到14°的范围里时，对应的角要 在表X中找。这时，如果已知的函数值不能恰好在表中找到， 那末只要取最接近的函数值，就可以直接找出精确到1'的对应角. 习唐17(2) 1.查表求下列各锐角a: (1)sina=0.0363; (2)ina=0.8873; (3)cosa=0.1656; (4)cosa=0.9893; (5)ga=10.00; (6)tga=0.2345; (7)ctga=3.410; (8)ctga=0.3000. 2.已知ga=sin3939'+cos8010',求a. 3.已知sina=2in10°，求a. 28 ==========第37页========== 4.已知c062a=2cos70°，求a. 5.已知ga=g10°+g20°，求a. 6。已知0s=宝求血，名和啷云的值 §1·8直角三角形的解法 一个三角形的三条边和三个角叫做它的六个元素、所谓解三角形，就是根据已知的元素，求出它的未知元素、 现在我们只研究直角三角形的解法。我们仍用C表示直 角三角形ABC的直角，而把三个角A,B,C的对边分别用 a,b,c表示. 对于直角三角形来说，除了一个直角以外，如果还知道两个元素（其中至少有一个元素是边），那末，总可以利用三角函数求出其他的元素.已知的两个元素可以是： (1)斜边和一个锐角：就是已知c和A,或者和B. (2)一条直角边和一个锐角：这里已知的直角边可以是已知锐角的对边，例如已知a和A或者b和B;也可以是邻边，例如已知b和A或者4和B. ·,(3)斜边和一条直角边：就是已知c和a或者c和b (4)两条直角边：就是已知a和 书 b. 426 下面我们分别举例说明这四种情形的解法、在所有的例题和习题里， c-287.4 求角都要求精确到1'，1。已知斜边和一个锐角例1.已知c=287.4,B=426;求A,a和b.(图113) 图113 ==========第38页========== [解].(1)A=90°-B=90°-426=47°54. (②)g-0sB .∴.·a=cc0sB=287.4c0s426'=287.4×0.7420=213.2. (3)6=inB, b=csin B=287.4in42°6'=287.4×0.6704=192.7，注意根据四位的三角函数值计算边长，如果没有指明要精确到哪一位，那末求得的结果就保留四个数字. 例2.一仓库屋顶的倾斜度是30°，椽长4B等于7.3米 (图114)；求这仓库的宽AA'(精确到0.1米). 【解因为 AC AB=C09A, 所以AC=ABc0gA=7.3c0s30°=7.3×0.8660=6.32. AA'=2AC=2×6.32=12.6 答：仓库的宽约为12.6米. 7.3 309 d 图1.14 习题18(1) 1.解下列各直角三角形： (1)已知c=35.00,A=3535';(2)已知c=315.7,B=616. 2.等腰三角形的腰长为30.02cm,底角等于0°，求底边上的高 ●80● ==========第39页========== 和底边的长. 3.菱形的边长为4.2m,一个锐角为70°，求它的两条对角线的长. 4.一块圆形铁板，半径为12.67，要截成一块尽可能大的正九边形，它的一边的长应当是多少？ 5.梯长6.5m,下端着地，上端靠墙，设梯与地面成72°的角，问下端距墙脚有多远（精确到0.1m)? 2.已知一条直角边和一个锐角 例3.已知a=15.2,A=1368';求B,b和c.(图116) 獬](1)B=90°-A=90°-1358=762， a=15,2 1368 图115 -g4,b (2) ,∴.b=actg A=15.2ctg13°58'=15.2×4.021=61.12 B (3)8-in4 a 15.2 C=-sin A sin13°58 15.2=62.97. 0.2414 例4.已知b=79.79,A=66°36；求 B,a和c.(图116) 【解1(1)B=90°-A=90°-66°36 人6638 b=79.79C=2324, d 图116 ●81· ==========第40页========== (2)号-g4 a=btgA-79.79g66°36'=79.79×2.311=184.4. b C= 79.7979.79 Cos Ac0s66°360.3971=200.9 在测量学里，常用到仰角和俯角这两个名词.如图117， 画出连结观测点(O)和目 的物(A或B)的视线，并 且经过观测点，画和视线在同一铅直面内的水平线 B (OL).当视线在水平线的 图117 上方时，它们间的角叫做 目的物的仰角（∠a).当视线在水平线的下方时，它们间的角 就叫做目的物的俯角（∠B), 例5.图118中，为了决定树AE的高度，在和E相距 47.0米的D处，用测角仪器测得仰角∠ABC-20°.设测角 仪器BD的高度是1.3米，求树的高度（精确到0.1米）. [解】在直角三 角形ABC中， AC BC=tg B. B .∴.AC=BCgB =DE tg B 图118 =47.0tg20°=47.0×0.3640=17.1. AE=AC+CE=A0+BD=17.1+1.3=18.4. 答：树高约为18.4米. ·32。 ==========第41页========== 注在解题时，.测角仪器的高必须算进去。但习题中有时为了简便起见，并不指明测角仪器的高：在这种情形下，我们可以把观测点当做就在安置仪器的地面上. 例6.由高出海面160米的山岩上的一点A(图119)， 观测海中一艘船B的俯角是%=9°。求山脚C到船只的距离 (精确到1米). 图1.19 [解】∠BAC=90°-9°=81°， .‘.B0=150g81°， 查表得 tg81°=6.3138 ∴.BC=160×6.3138=947. 答：山脚到船只的距离约为947米。 习题1·8(2) 1.解下列各直角三角形： (1)已知b=45.62,A=3915; (2)已知b=100,B=6720', 2.等腰三角形ABC的底角A=7220,腰AC上的高为14.7cm,解这个三角形（精确到0.01cm). 3.直角三角形ABC的锐角B=4022,斜边AB上的高是 8.24cm,解这个直角三角形. 4.菱形的一锐角等于T7°，短对角线的长为12.40cm,求这菱形 33● ==========第42页========== 的边长 6.平面上有两个点P和彼此不 能直达，但是能够望见.为了测量这 两点间的距离，沿P?的垂线QR取一 点R,测得PR=76.8m,∠PRQ= 6210'.求P9. *6.两个建筑物AB和CD的水平 72.6m- 距离是72.6m,从其中一个建筑物的 (第6题) 顶，点A测得另一个建筑物的顶C的俯 角是36°，底D的俯角是40°.求这两个建筑物的高（精确到0.01m) 3。已知斜边和一条直角边 例7.已知b=35.47,c=46.93;求A,B和a.(图1.20) 【解](1)csA=b35.47 45.93 =0.7723； c=45.93 .A=3926, (2)B=90°-A=90°-39°26' =50°34. b=35.47 (3).·a2+b2=c2; 图120 a=/c2-b=√(c+b)(c-b).c+b=81.40,c-b=10.46,(c+b)(c-b)=851.4, ..a=/851.4=29.18 如果求出c的平方，b的平方，再求它们的差，然后开方，那末计算就要麻烦得多。 例8.长21尺的木板，一端在地面上，另一端离开地面的高是10.3尺，求木板和地面所夹的角（精确到1）. 【解1设AB是长21尺的木板（图121），CB是木板一 ·34● ==========第43页========== 力 10.3 图121 端离开地面的高度10.3尺，那末 sin A=CB10.3 AB一“21 =0.4905. 查表得到∠A的最接近的整数度数是29°， 答：木板和地面所夹的角约为29°。： 习题18(3) 1.解下列各直角三角形： (1)已知a=50,c=70.71; (2)已知b=7,c=25 2.等腰三角形的周长为26cm,底上的高为8cm,求它的腰和底(精确到0.001cm)以及顶角. B 3.个正多边形的边长为5（√5-1）cm,外接圆的半径为10cm,求这个正多边形的边数.又它的内切圆半径等于多少？ *4.直角三角形ABC的斜边AB=21.72cm,.AC=16.80cm,求AB上的高和角A的平分线的长 a=104 4。已知两条直角边 例9.已知a=104.0,b=20.49,求 A,B和c.(图1.22) [】（①gA-号=848-5.08 b=20.49 图122 ◆36● ==========第44页========== ..A=78°51， (2)B=90°-A=90°-78°51'=119g, (3)sin A 104.0 C=- 104.0=106.0. sin A8in7851'0.9812 这里，我们当然也可以根据c=√a2+b来求c.但这只有在a和b的数值比较简单时才适用。当数值很繁时，还是用例题里的解法比较简便. 习题18(4) 1.解下列各直角三角形： (1)已知a=√5，b=√15； (2)已知4=22.5，b=12 2.矩形ABCD中，AB=25,BC-312,求它的外接圆的半径和两 条对角线相交所成的锐角.· ,3.等腰梯形的上底为8cm,下底为14cm,高为7.5cm,求它的腰长和底角. 4.锐角三角形ABC中，BC上的高为AD,已知AD=12.30cm,BD=8.48cm,CD=9.27cm.求这个三角形其余两边的长和三个角的大小。 本章提要 上.锐角三角函数的定义sind co b 8A=名，0cA=6,cos A= 2.80°一A和锐角A的三角函数间 的关系 in(90°-A)=cosA, 图、123 co8(90°-d)=sinA, 86 w ==========第45页========== g(90°-A)=ctgA,ctg(90°-A)=gA,6ec(90°-A)=cosec A,cosec(90°-A)=ecA. B.几个特殊度数角的三角函数 A 0° 30° 45° 60° 90° sin A 0 12 √3 2 2 cos A 1 3 2 2 0 2 2 tg A 0 √3 1 3 3 不存在 ctg A 不存在 √3 /3 1 0 sec A 2√3 3 /2 2 不存在 cosec 4 不存在 2 V2 2W√3 1 3 4.锐角的三角函数的变化： 正弦，正切，正割逐渐增大； 锐角逐渐增大时余弦，余切，余割逐渐减小。 6.解直角三角形的四种情形 已、知 所 求 B=90°-A a=csin A b=cCo8A a,A B=90°-A b=actg A C心asin A 加4=8 B=90°-A b=√c2-a2或b=cinB a,b 8A=合 B=90°-A c=Wa2+或c= sin A t37● ==========第46页========== 复习题一 1.设直角三角形的斜边和一条直角边的比是25：24，求最小角的 六个三角函数. 2.已知a=Vpg-q，c=√-p9(>g>0;求下列各式的值： (1)sin2 B+cos2 B; (2)sec2 A-tg?A; (3)cosec2 4-ctg?A. 3.已知心A-√侵；求作锐狗A, 4.不用查表，计算下列各式的值： *(1)6in37°30'g8°21'-cos5230'sin49°7'+sin37°30'sin497 c0s5230'ctg8139; (2)sin23°40'-cos66°20' sin23°40'+cas66°20 (3)[g(50°+x)-ctg(40°-x)][secx+cosec(x+10)门 (0°90°、 11.已知tga=0.4579,ctgB=0.5497;求证a+6<90°. 12.已知seca>cosee B;求证a+B>90°. 13.化简p2sin90°-2 pq cos0°+q2cos0+2ptg0°-qctg90°. 14.化简 m8sec0°-m2ntg260°cosec90°+9mr2ctg260°-h3sin2g0°， 15.一树的上段被风吹折与地面成30°的角，树根与树顶着地处相距20m;求树原有的高度. 16,在上题中，如果上段被折部分的长为10.5m,求树原有的高度.被折部分与地面成30°的角. *17.在平地上的一点，测得一塔尖的仰角为45°；向塔前进100m又测得仰角为60°；求塔高及塔与第一测处的距离 [提示：设PM为，利用关系AM=PM解得它.] ◆18，在200m高的销壁上测得一塔的塔顶与塔基的俯角各为30°与60°，求塔高. 200m 小6° )60 0wmi (第17题) (第18题) ●59◆ ==========第48页========== 19.山坡与地平面成3317的角，某人上坡走了87.5m,问他上升了多少（即与地平面的垂直距离）？ 20.在直角三角形4BC中，锐角A=3317',斜边AB上的高为 15cm,解这个三角形. 21.在直角三角形ABC中，斜边AB.上的高CD等于20.4cm,AD=18cm,解这个三角形. 22.正十六边形的外接圆的直径为20cm,求它的周长和内切圆的半径。 *23.梯形的上底为11.82cm,下底为14.46cm,两底角为7014和7526.求这梯形的两腰的长. ◆24，A是直角三角形中的一个锐角，求证in4十cosA>1. ==========第49页========== 第二章任意角的三角函数 §21大于90°的角和负角 我们在§16中已经说过，角可以看做是由一条射线绕 着它的端点旋转而成的.在图2·1里，角AOB就是由一条射 线从OA的位置开始，绕着端点O,旋转到OB而形成的. 如果图21中的射线绕着点O继续旋转，那末，形成的 角AOB就逐渐增大，从锐角变成90°的角，再变成钝角，180° 的角等等、当射线旋转了一周而又与OA重合的时候，所得 的角就等于360° 设想图21中的射线象脚踏车轮上的钢丝一样，它可以旋转一周后再继续旋转，这样就会得到大于360°的角.旋转两周以后，就得到大于720°的角.象这样继续下去，射线可以旋转三周，四周等等，面形成任何大小的角. 图21 图22 假使我们再把射线旋转的方向也考虑进去，那末角的概念不但可以推广到任何大小的角，还可以推广到负角。例如，图2·2中相互衔接面具有同样半径的两个齿轮，在转动的时 ==========第50页========== 候，其中一个齿轮的半径旋转某一个角度，另一个就一定旋转同样的角度，但是它们旋转的方向相反.如果我们只是说，在同一个时间里，两个齿轮的半径旋转的度数是一样的，那末，这就象把温度计的零上2度和零下2度一律说做2度一样，显然是不确切的.为了解决这类问题，我们可以规定射线按照 一个方向旋转所成的角是正的，面按照另一个方向旋转所成的角是负的.通常我们规定：按照反时针方向旋转所成的角是正的角，按照顺时针方向旋转所成的角是负的角.例如，在图2·2中，右边的一个齿轮旋转所得的角是正的，左边的一个齿轮旋转所得的角是负的 射线按顺时针方向旋转一周，生成的角是从0°到 一360°；旋转两周，就生成一360°到-720°的角.这样下去，我们可以有任何大小的负角.例如时钟的分针一昼夜所转过的角是一8640° 这样，我们就扩大了角的概念。我们有了任意大小的角(正角，负角和等于0°的角). 例1.画出下列各角：940°，一790° 【解]940除以360，得到不完全的商2和余数220.所以 940°=2×360°+220°， 这就是说，射线按照反时针方向旋转2周后，继续按反时针方向旋转220°，就得到940°的角（图2.3）.同样， -790°=-(2×360°+70°) =-2×360°-70°， 因此，射线按照顺时针方向旋转2周后再按顺时针方向旋转70°，就得到一790°的角（图24）. ●42● ==========第51页========== 28 图24 在这个例题里，我们看到，如果始边相同，那末940°角的终边和220°角的终边是相同的；一790°角的终边和-70°角的终边也是相同的、 现在我们来研究相反的问题：如果始边相同，那末，有哪些角的终边和220°角的终边是相同的呢？显然，除了940°以外，还有其他的角.因为当射线按反时针方向旋转220°以后，不论它再按反时针方向或者顺时针方向旋转整数的周数，它的终了位置还是在220°角的终边上.由此看来，和220°角的终边相同的一切角可以用%360°+220°来表示，这里见是正整数，负整数或者零.当%是正整数时，它表示射线从220°角的终边起，再按反时针方向旋转整数的周数.当%是负整数时，它表示射线从220°角的终边起再按顺时针方向旋转整数的周数.当=0时，它就表示220°角本身. 同样，和一70°角的终边相同的一切角可以用%360°一70°来表示. 一般地说，如果始边相同，那末和角终边相同的角连同 角Q本身在内，可以用下面的式子表示： %360°十a(%是整数). ·43◆ ==========第52页========== 例2.机器的轮子在3分钟内旋转9000周，它的角速度是每秒儿度？[解] 9000×360°=18000°，3×60 答：轮子的角速度是每秒18000°. 习 题2·1 1.用量角器作出下列各角： -55°，-265°，400°，1000°，-512° 2。若下列各角有相同的始边，判别哪些角有相同的终边。 105°，-75°，465°，-615°，285° 3.当时钟上指出3点，6点和8点的时候，把时针作为角的始边，写出分针与时针所成角的一般形式. 4.把和一90°，一220°与一3000°的角的终边相同的一切角写成 n.360°+a的形式，但必须使0°≤a<360° 6,飞轮在4小时内旋转72×10周，它的角速度是每秒几度？ §2•2直角坐标系 我们在第一章中知道，对于任何一个锐角，可以用它所在的直角三角形两边的比来定义它的三角函数.在扩大了角的概念以后，我们很自然地也要对于任意的角，规定它们的三角函数的意义。三角函数的新的定义要用到代数中关于直角坐标系的知识.为了便于读者自学，我们在这一节里把有关直角坐标系的知识从头讲一讲 1。基本概念要把一只棋子放到棋盘上某一点处，一定要指明，这一点在横的第儿格，竖的第几行处。请电器工人装一个开关，比方说，告诉他要装在窗子右边离窗框0.5米， 4● ==========第53页========== 离地1.5米的地方，他就会装在你所需要的地方.这样看来，平面内的点的位置是可以用两个数来确定的、 一般地说，我们可以在平面内画互相垂直的两条直线O和0y(图25).取任意一条线段作为长度 1 B 0 单位，再规定两条直线的 -3-2-1 正方向如图中的箭头所 -2 示.对于Oe上从O起截 -3 IIl 取的每一条线段，我们使 IV -5 它对应着一个正数或者负数，这个数的绝对值是线段的长；向右截取的对应 图25 着正数，向左截取的对应着负数.同样，在O上，从O起，使 向上截取的线段对应着正数，向下截取的对应着负数.这样 一来，在两条直线上，每 一条以O为一个端点的 线段就对应着一个数.例如，在图25中，线段 OA对应着+4，线段 OB对应着-3，线段 0D对应着-5. B 设平面内有一点 P.从点P作O心的垂 线MP和Oy的垂线 图28 NP(图26).用取定 的长度单位量OM和ON,并且放上应有的正负号以后，得 ●45： ==========第54页========== 到两个数.我们把OM所对应的数叫做点P的横坐标，ON 所对应的数叫做点P的纵坐标.例如在图26中，点P的横 坐标是2，纵坐标是3.同样可以求得A,B,C,D各点的横 坐标和纵坐标. 一个点的横坐标和纵坐标总起来叫做这个点的坐标.我 们可以用P(2,3)来表示点P的坐标.括号里的第一个数表 示横坐标，第二个数表示纵坐标.例如，在图26中，点A的 坐标是(3,2)，点B的坐标是（一3,2），点C的坐标是 (-4,一2)，点D的坐标是(3，一2.5)， 很明显，Oc上任何一点的纵坐标都等于零，O则上任何 一点的横坐标都等于零.例如，在图26中，点E的坐标是 (4,0),点F的坐标是(0，一3).点0的坐标是(0,0). 由此可知，利用平面内互相垂直的两条直线，可以按照上面的规定，用两个数来指出平面内任意一点的位置. 反过来，知道了一个点的坐标，我们也就能够画出这个 点 例如，要画出点P(2.5, -3.5),我们在0x上，从0起向右截取2.5个长度单 位，得到点M;在O则上，从 0起向下截取3.6个长度单 位，得到点N(图27).过 M作O的垂线，过N作O则 的垂线.这两条垂线的交点 就是所求的点P 图27 我们把O心叫做横坐标 轴或者化轴，O则叫做纵坐标轴或者U轴，点O叫做坐标原 ·46 ==========第55页========== 点.心轴和y轴把平面所分成的四个部分叫做象限.各象限的编号从右上方的一个开始，按照反时针方向，分别叫做第一象限，第二象限，第三象限和第四象限（参看图25）。各象限里点的坐标的符号如下表所示： 象 限 横 坐 标 纵坐标 I + + il + II1 Iv 设从点P所作的心轴的垂线交c轴于M.如果我们规 定：当线段MP在心轴的上方时，令它的长带上正号，在如轴 的下方时，令它的长带上负号，那末MP所对应的数显然就 是点P的纵坐标.采用这个规定，求已知点的坐标或者画出 已知坐标的点就更简便了. 例1.求图28中点P的坐标 【解]从P作x轴的垂线MP.用取定的长度单位量 OM和MP.从图中可以看 到，OM所对应的数是-3， MP所对应的数是4.所以点 P的横坐标是一3，纵坐标是 4,就是说，点P的坐标是 (-3,4). 例2.画出点P(-5, -3.5). [解1在c轴上从O起向 图28 左截取线段OM使它的长等于5个长度单位.在点M处 47●. ==========第56页========== 作心轴的垂线，并且向下截取线段MP使它的长等于3.5个 长度单位（图2.9）.OM所对应的数是一5，MP所对应的数 是一3.5，点P就是所求的点. 图29 2。从原点到已知点的距高设点P是平面内的一点。 我们用？表示OP的长，并且规定？总是正的.我们很容易 看出，不论点P在那一个象限里，或者在坐标轴上，如果已经 知道它的坐标(，y),那末？可以根据下面的公式计算出来： 254) 3 图210 图211 ◆48 ==========第57页========== r=√c+y. 例3.求从原点到点(3,4)的距离（图210）. 【解1r=√3+4=√/25=6. 例4.求从原点到点（一3，一2）的距离（图211）.[解]m=√(-32+(-2②)3=√9+4=√13=3.6， 习题22 1.在坐标平面上画出下列各点： P(5,-√2)；P2(-3,√3) P3(-1.3,-V/5); P4(-5,0);P5(0,-3);P6(0,3.3);P(-√2，-√3). 2.求从原点到下列各点的距离： (1)(-2,√5)； (2)(3,-4)； (3)(a,-2a); (4)(1,7)； (5)(0,-3); (6)(-W5,0). 3.写出以Ox的正向为始边，OP为终边(0为原，点)的角的一般形式： (1)P(1,√3)； (2)P(2,一2)； (3)P(-√3，-1)； (4)P(-3,3);(5)P(0,-3.5);(6)P(4,0); (7)P(0,3); (8)P(-2,0). 4.某点的横坐标为3，这点到原点的距离为5，求它的纵坐标 §2·3任意角的三角函数 现在我们来说明对于任意的角，怎样规定它们的三角函数的意义. 设有一个锐角α.我们以它的顶点为原点，以它的始边(就是射线原来的位置)为心轴的正方向，作直角坐标系(图212). ·49◆ ==========第58页========== 在角α的终边（就是射线最后的位置）上任意取一点P. 设点P的坐标为(c,y),OP的长为？.根据锐角三角函数的定义，我们知道 8ina=丝 (1) 化 C09=5 (2) tges ⑦’ (3) ctg a-.优 U (4) sec a=_r ’ () cosec a=个 、 (6) 图212 图213 设想射线继续按反时针方向旋转，成为大于90°而小于360”的角.那末，角a的终边就将落到第-一象限的外面去，如图213,214,2.15所示.不论角a的终边落在哪-一个象限里，或者在坐标轴上，我们仍可以取终边上的任意一点，而 ◆50● ==========第59页========== 图214 图2.15 把锐角三角函数的定义推广到这些角上面去.就是说，我们仍旧把公式(1)到(6)里的六个比分别叫做角a的正弦，余弦，正切，余奶，正割和余割 进一步，我们还可以使公式(1)到(6)适用于任意大小的角（正角和负角）.这就是说，如果任何一个角的终边上一点P的坐标是(，y),原点到点P的距离是T,那末角a的 三角函数仍旧是公式(1)到(6)里的六个比. 这样，我们把三角函数的概念就从锐角推广到任意大小的角了. 例设角a的顶点是O,始边是Oc,它的终边上-点P的坐标是(-4，-3)，求角α的六个三角函数. 【解1r=/(-4)2+(-3)=√25=5.因此， 4sin a=-一3 55,c0sa=-4 5 5 -33 -44 tg a=-出 -44’ otg a=-3 3 。510 ==========第60页========== 55 55 8e0a=--4 ，c0seea=g-3 图2.16中画出的角α是小于360°的正角.根据我们所规定的任意角的三角函数的意义，可以知道，不论角α是正角 还是负角，只要它的终边和图2·16中的OP重合，那末，它的 六个三角函数都和上面算出来的结果一样 这里要注意，终边 上所取点P的位置不 同，会影响到T,c和y的值.但是我们容易看出，只要终边的位置确 定，不论点P是终边上 的哪一点，”，x和y这 图216 三个数中任意两个数的 此还是不变的.换句话说，任意角的三角函数跟着角的大小 而确定，和点P在终边上的位置没有关系 习题23 1.设角a的顶点是O,始边是Ox,它的终边上一点P的坐标是(1,一7)，求角ax的六个三角函数. 2、设角α的顶点是O,始边是Ox,它的终边上一点P的坐标是 (一7,1)，求角“的正弦，余弦，正切和余切.又如果点P的坐标是 (-10.5,1.5),这些三角函数值有没有变化？为什么？ 3.设角α的顶点是O,始边是Ox,它的终边上一点P的坐标是(3a,4a),求角a的六个三角函数.并分别按照a>0和a<0求出它们的值. *4.求顶点为O,始边为Ox,终边分别为直线y=一2x的第二象限部分和第四象限部分的角的六个三角函数. ◆52· ==========第61页========== §2·4三角函数值的符号 我们已经知道，在研究任意角的三角函数时，角的始边要固定为心轴的正方向.至于它的终边，根据角的大小，可以在任何象限里，或者在坐标轴上. 锐角的终边在第一象限，终边上任何一点的横坐标，纵坐标都是正的，所以任何锐角的三角函数值都是正的 当角的终边在其他的象限里时，根据各象限里点的坐标符号的规定，以及三角函数的定义，可以知道，它的三角函数的值就不一定是正的了. 记清楚各象限内点的横坐标心，纵坐标y的符号，并且记住原点到任何一点的距离？都是正的，就很容易根据三角函数的定义，确定各个函数的符号. 下表所列是角α的三角函数值的符号： 角x的终边 所在的象限 ?sin a= C0B化： sec a= mtg a=ga六 2 cosee am 十 メ II 中 Iff 十 IV 下面再来研究角的终边在坐标轴上的情形.很明显的，当角的终边分别落在心轴的正方向，y轴的正方向，轴的负方问，y轴的负方向的时候（图2·17）， 它的正弦的值分别是：0,1,0，一1；它的余弦的值分别是：1,0，-1,0 它的正切的值分别是：0，不存在，0，不存在； ·580 ==========第62页========== 图217 它的余切的值分别是：不存在，0，不存在，0，它的正割的值分别是：1，不存在，一1，不存在它的余割的值分别是：不存在，1，不存在，一1，0°~360°间这些角的三角函数值，可以列成下表： 0° 90° 180° 270° gin a 0 1 0 -1 c03 1 0 -1 0 tg a 0 不存在 0 不存在 ctg a 不存在 0 不存在 0 sec a 1 不存在 -1 不存在 cosee a 不存在 不存在 -1 习 题24 1,(1)120°角的哪些三角函数值是负的？(2)280°角的哪些三角函数值是正的？(3)560°角的哪些三角函数值是负的？ 2.设(l)ina和cosa的符号相反，(2)ga和sina的符号相同， (3)cosa和ga的符号相反；a应当在怎样的范围内变化（设a是小 054. ==========第63页========== 于360°的正角)？ 3.设（①）na<0,2) g ctga<0,(3)sincosa>0;角a的终cos a 边应当在哪些象限？ 4.按照绝对值来说：(1)seca能否小于ga？(2)na能否大于g?(3)cosec a能否小于ctga？(4)cosa&能否大于ctgc?并加以解释. 5.设a的终边在第三象限内，决定下列各式的符号：(I)ina+cosa;(2)tg a-sin a;(3)cos a-ctg a;(4)sec2a+tga+ctga, 6.求下列各式的值： (1)5sin90+2cos0°-3sin270°+10cos180; (2)a2cos270°+b2sin0°+2 ab ctg270°； (3)msin270°-nsin90° cos1800+ktg180; (4)a2cos0°-b2in270°+ab cos180°-abco30°； (5)a2sin90°+2 ab cos180°+_b2 0320 (6)sin270°-2cos0°-tg180°， §25已知某角的一个三角函数的值，求作角 根据任意角的三角函数的定义，只要知道角的终边上一点的坐标，就可以求出这个角的三角函数的值.现在我们来研究反面的问题：知道了某角的一个三角函数的值，怎样画出这个角？举例说明如下： 例1.已知na=名求作角&， 【解]已知正弦的值是正的、我们知道，当角的终边在第一或者第二象限时，它的正弦的值是正的、因此，求作的角 •55 ==========第64页========== 的终边在第一或者第二案限又因为n=名，所以义-子 我们可以在￠轴的上方，作平行于心轴并且距离等于1个长度单位的直线（图218），这条直线上任何一点的纵坐 标都等于1.以O为圆心，以2个长度单位为半径，作孤交所 作的直线于P1和P.连结OP1和OP2,就得到小于360 的两个正角1和a.这两个角都适合于已知条件，并且始边为Oc,终边为OP1或者OP的任何正角或者负角也都是所求的角。 图218 例2.已知c0sa=-0.6,求作角a. 【解]因为已知余弦的值是负的，所以求作的角的终边 在第二或者第象限内又因为c0a=号，所以号=-0.8- 在y轴的左方作平行于y轴并且距离等于3个长度单位 的直线（图219）.以O为圆心，以5个长度单位为半径，作 弧交所作的直线于P1和P.连结OP1和OP2,就得到小于 ·56◆ ==========第65页========== 360°的两个正角a1和a2.这两个角都适合于已知条件，并 且始边为O终边为OP1或者OP:的任意角也都是所求的 角. 例3.已知ga-2,求作角&， [解】因为已知正切的值是正的，所以求作的角的终边 在第一或者第兰象限内。又因为ga=”,所以甚-2是=2 在第-一象限作点P1(2,5),在第三象限作点P2(一2，一5) (图2·20).连结OP:和OPg,就得到小于360°的两个正角a1和a2.这两个角都适合于已知条件，并且始边为Oc终边 为OP1或者OP的任意角也都是所求的角 P p P3 图219 图2.20 例4.已知ctga=-2,求作角a. 【解】因为已知余切的值是负的，所以求作的角的终边 ◆57· ==========第66页========== 在第二或者第四象限内.又因为otga=可所以多-一2. 在第二象限作点P(一2,1)，在第四象限作点P《2,-1) (图2·21).连结OP1和OP2,就得到小于360°的两个正角 a和ag.这两个角都适合于已知条件，并且始边为Ox终边 为OP:或者OP2的任意角也都是所求的角. 图2,21 习题2·5 1.作出角a的终边，已知： (1)c0sa=0.8; (2)sin a=- (3)tga=-1.25; (4)ctga=2; (5)seca=-2; (6)c0seca=1.4 5 2.作出适合等式ga=一是的角4和，并求ina,co9a,. Sina2和cosa2的值. 3.已细ina=-若，作角e并求ga的值 4.作出适合下列各等式的角α所有的终边： (1)sina=0.75; (2)16oal-; (3)tga=1.2. 458年 ==========第67页========== §2.6n360°+a与任意角a,的 三角函数间的关系 我们知道，0°到90°的三角函数值是能够直接从三角函数表中查到的.但是大于90°的角和负角的三角函数值，就不能够直接从三角函数表里查得.怎样求任意角的三角函数呢？从这一节起，我们来解决这个问题 在§23中，我们知道，根据任意角的三角函数的定义，所有始边和终边相同的角的各个三角函数值完全相同.'例如，一30°和330°的角当始边相同时，终边也相同.因此， 8in(-30)=in330°=-1 2 c09(-30°）=009330°-√3 等等 在§21中，我们又知道和角a始边相同，终边也相同的 一切角可以用n360°+a来表示.所以，%360°+a的三角函数值和α的三角函数值完全相同.就是说，对于任意角a和任意整数%，我们都有 8in(n360°+a)=sina,c0s(n.3c0°+a)=c08a,tg(n360°+a)=tga,ctg(n.360°+a）=ctga,8ec(n.60°+a)=8ece,cosec(n.860+a)=cosec a, ·59 ==========第68页========== 利用这一组公式，我们可以化任何正角的三角函数为小于360°的正角的三角函数. 例化sin850°为小于360°的正角的三角函数. 【解】sin850°=sin(2×360°+130°)=sin130°， 习题26 1.化下列各三角函数为小于360°的正角的三角函数： (1)sin1112; (2)co2000°；·(3)g89230'; (4)ctg567: (5)sec3700, (6)cosec947°. 2.下列三角函数中，哪些有相同的值？ 6in390°，tg415°，n870,in750,ctg585°，co8420°， 3.将下列负角的三角函数化成小于360？的正角的三角函数： (1)sin(-200; (2)c0s(-115); (3)tg(-55); (4)ctg(-280); (5)sec(-72°)； (6)cosec(-183). 4.求下列各三角函数的值： (1)8in900°； (2)in1290°； (3,c0s1035°； (4)cos1620; (5)g2010; (6)ctg1755° §2·7180°-a,180°+a,360°-a与锐角 &的三角函数间的关系 我们利用上一节的公式，把任何正角的三角函数化成小于360°的正角的三角函数后，求任何正角的三角函数值的问题还没有得到完全解决.因为，三角函数表只载有0°到90°角的函数.所以进一步我们还要研究，怎样把大于90°而小于60”角的三角函数，化成0？到90”角的三角函数.显然90°与180°间的角总可以写成180°一a的形式，其中a是某一个锐角，例如130°可以写成180°一50°的形式， ●60· ==========第69页========== 166°可以写成180°一14°的形式等等.同样，180°与270°间的角可以写成180°+a的形式，270°与360°间的角可以写成360°一a的形式，这里a都表示某一个锐角.所以为了求出90°到360°间的角的三角函数，我们只要研究180°一4，180°+a,360°-a与锐角a的三角函数间的关系就可以了. 1.180°一a与锐角，的三角函数间的关系设a是一个锐角.在直角坐标系中作角a和1&0°一&，并且在它们的终边上分别取点P和点P,使OP=OP1=r(图2.22).经过P和P1分别作x轴的垂线MP和M1P1.因为OP1和OP对称于y轴，所以很容易得到直角三角形OP1M1三直角 三角形OPM.因此，设点卫的坐标是(，y),那末，点P1的坐标就是（一c,y）)、 180° a 图222 根据三角函数的定义，得 sin a=3,sin(180.-a)COSa- ，08(180°-)==-2， ·81· ==========第70页========== ga=是g(180°-a)==-义：otg a=,ctg (180a)y s80a=T,seo(180°-）*2=”， 一花 cosec a=r2 c096c(180°-a)=Y 所以 sin(180°-w)=8ing, c08(180°-a)=-c08a, tg(180°-a)=-tga,ctg(180°-a)x一ctga,8ec(180°-a)=-8eca,cosec(180-a)cosec a, 利用这一组公式，可以把90°与180°间的角的三角函数，化成锐角的三角函数. 例1.查表求c09145°24. [解]先算出145°24'=180°-34°36'.于是 c0s145°24'=c0s(180°-34°36) =-c0934°36'=-0.8231， 2、180°+w与锐角a的三角函数间的关系从图2,23可以看到，180°+a的终边和角a的终边成一直线.因此，设OP1=OP=",点P的坐标是(，y),那末，点P1的坐标就是(-c,-y). 根据三角函数的定义，得 ima-￥，sin(180°+a）=9=-g, ·62· ==========第71页========== 180°+a 一 卫3 图·223 C09a=c0s(180°+a)=-2=-心ga=义 g(180°+a)=Y=型 一花 otg a=化yotg(180°+a)=- = 一则y Sec a=- sec(180°+a)=_=ー 一0 cosec argc0s60(180°+a)=_ 一则 所以 gin(180°+a)=-ina, co8(180°+a)=-c0sa, tg(180°+a)=tga, ctg(180°+a)=ctga,8ec(180°+ax)=-8ecx,cosec(180+a)=-cosec a. ●63t ==========第72页========== 利用这组公式，可以把180°与270°间的角的三角函数，化成锐角的三角函数. 例2.查表求g20430. 解1先算出20430'=180°+2430'.于是 g204°30'=g(180°+2430) =g24°30'=0.4557. 3.30°-，与锐角a的三角函数间的关系从图2.24可以看到，如果在角a和360°一a的终边上分别取OP和OP1,使OP=OP1-m,并且作c轴的垂线MP和M1P1,那末，由于OP1和GP对称于x轴，M1和M必定重合①.因此，设点P的坐标是(c,y),那末，点P1的坐标就是(c,一y)、用前画同样的方法，可以推得 sin(880°-a)=-8ina, c03(360°-a)=c08a, tg(380°-x)=-tga, y 360°-4 Ma M(M) 一9 P 图2◆24 ①图中用记号M(4)表示点M和41郵合。} ●64· ==========第73页========== ctg(360°-a)=-ctg&, 8ec(360°-a)=BeCa,c09ec(360°-e)=一c03ec. 利用这组公式，可以把270°与360°间的角的三角函数，化成锐角的三角函数. 例3.查表求sin290°4'. [獬1先算出290°4'=360°-69°56.于是 sin290°4'=sin(360°-69°56) =-sin69°56=-0.9393. 利用§26的公式，把大于360°的角的三角函数化成0°到360°间的角的三角函数后，如果得到的不是锐角的三角函数，那末，可以用本节的公式，把它们化成锐角的三角函数.这样，我们已能够求任何正角的三角函数值了. 例4.查表求ctg1180°. [解1ctg1180°=ctg(3×360°+100)=ctg100° =ctg(180°-80)=-ctg80°=-0.1763， 习题27 1,将下列各三角函数化成锐角的三角函数： (1)sin16230'; (2)cos102°， (3)g1715'; (4)ctg94°； (5)sec501°； (6)oosec490; (7)sin297°； (8)c0s580°； (9)tg921°； (10)ctg1000°. 2.将下列各三角函数化成小于45°的锐角的三角函数： (1)cos107°； (2)in23232'; (3)sin295°17'； (4)cos711°； (5)tg960°14'； (G)ctg581°； (7)se01233°； (8)c0sec858°， (9)sin892, (10)os460°. ·854 ==========第74页========== 3.查表求下列各三角函数的值： (1)8in51029'; (2)cos440°10'5 (3)g1022°； (4)ctg851°40'，· 4.设A,B,C是一个锐角三角形的三个内角，求证： (1)sin(A+B)=sin C; (②)cos(B+C)=-co8A; (3)tg(A+C)=一gB. 5.已知in(180°+a)=-0.4,计算： (1)in(180°-a);(2)sin(360°-a)；(3)co3(90y-a)。16,求下列各式的值： (1)3cos240°-2tg240°； (2)8in390°cos300°tg240°ctg210°； (3)2in765°+g21485°ctg135°； 2c0s660°+sin630° (4)30s1020°+2c0s6600· §2·8一a与任意角c的三角函数间的关系我们已经解决了求任意正角的三角函数值的问题.剩下来的问题是：怎样求负角的三角函数值？ 在这一节中，我们要对于任意角&，推出一a与a的三角函数间的关系，然后应用所得的公式，化负角的三角函数为正角的三角函数. 我们知道，不论a是正角还是负角，一a和α是射线按两个相反方向旋转同样的角度所产生的.因此，当α和一α有公共顶点并且取它们的公共始边为轴的正方向时，它们的终边一定对称于x轴，如图225中所画的. 在a的终边和一a的终边上分别取点P和P1,使OP=OP1=.经过P和P1作c轴的垂线MP和M1P1.那末， ·66、 ==========第75页========== a的整边 a的整边 p P 2 y M (M M(M,) 0 -y Pi 一a的愁边 一a的杜边 ~a的杜边 4的格边 P1 P1 -y M(M) M (M) 0 0 a的格边 a的轻边 图2.25 M和M1必定重合.因此，设点P的坐标是(，y),点P的坐标就是(，一y). 根据三角函数的定义，得 sina=4,m(-a)==-g, ·67· ==========第76页========== c09a=化 s(-a)=号； tg a=y g(-a)=-=-盟 .花 ctga=化otg(-a)-_- 一则 sec a-rs8c(-a)=": Cos604=g,c0s8c(-a）)=r=-4 -0 所以 8in(-a）)=-8ina, C0s(-x)=c08a&, tg(-a)=一tga, ctg(-a)=一ctg, se0(-a)=8e0a, C08ec(-a)=-C08eC&. 例查表求ctg(-1596). [解】(1)先化成正角的三角函数，得 ctg(-1596°)=-ctg1596°. (2)其次，化成小于360°的正角的三角函数，得 -ctg1596°=-ctg(4×360°+156°)=-ctg156°. (3)再化成锐角的三角函数，得 -ctg1c6°=-ctg(180°-24°) =-(-0tg24)=ctg24, (4)查表得 ctg24°=2.246 ..ctg(-1596°)=2.246， ·68· ==========第77页========== 在§27，§28和本节中，我们得到了五组公式.这些公式可以列成下表： 函数 角 正弦 余弦 正切 余 切 正 割 余 割 n.360°+x sin a cos a tg a ctg a sec a cosec a 180°-a siaa 一C03a tg a -ctg a ー sec a C0800C 180°+a -sin a -C03a tg a ctg a --sec a -C03e℃m 360°-a-sin a cos a tg a -ctga sec a -cogec a -gin a cos a -tg a -ctg a sec a -cosec a 为了便于记忆，从这张表可以归纳出下面这句话：m360°+a,180°士a,360°-a,-a的三角函数，等于角a的同函数的值，放上α是锐角时，原来的函数在相应象限内的符号. 习题28 1.求下列各式的值： (1)in420°cos390°+cos(-300)sin(-330°)； (2)tg(-840°)sec(-900)+sin(-405°)ctg(-510); (3)in2(-990°)+cosec2(-300). 2.化简《a2_b)cg(180°二+(a+b2)tg(90°- cos(180”+x) ctg(1S0°-x) sin(-A)g(4-90)c0s(-A-180) 3.化简inA-80y-ctg(1-360)Tsin(A-90). 4.查表求下列各三角函数的值： (1)sin(-837);(2)cos(-791);(3)tg(-111231'). 5.设a=一240°，验证下列等式： (1)tg2a= 2g4; 1.-tg a (2>2cos=1+cos a; 8)g-1--cos a 6na· ·69 ==========第78页========== 6.求证cos8+√3sinB =2[sin(-210°)cos(-3)+cos(-210)sin(-B)]. 7.如果一360°0,b>0,并且a≠b;下列各等式哪些不合理？为什么？ (1)ga=a2-b2 (2)sec B=-a? a+8 4+b (3)cosec y=a2+b2 ab 16.求适合等式28inx+√3cosx+1=0的x的一切值. 17.不用查表计算下列各式的值： (1)sin10”+g(45。- cos 11 ctg(45°+)' (2)sin 217 tg98°coS536-+g278o· *18.已知1 sec a+c0seca=a,求证 sin a cos a=11k√a2+1 a *19.已知asCx-cgx=d,乙sCx十dtgx=c,求证a2+b”=2+ . 92· ==========第101页========== 第三章.三角函数的图象和性质 §3·1弧度制 我们以前量角的大小时所用的单位是度。1度的角就是 周角的0·这种用度傲单位来量角的制度叫做角度制.量角 的大小也可以不用度而用别的单位，就象量线段的长可以用米做单位，也可以用尺做单位一样. 1.孤度我们知道，角是由射线围绕它的端点旋转而形成的.在形成角的同时，射线上的任意一点也必然旋转而形成一条孤.例如图31中，射线旋转而形成°角的时 候，射线上的任意一点A就旋转而 形成一条弧AB. 图31 因为°的圆心角所对的瓶长3是整个圆的周长的60， 而圆的周长等于半径R的2死倍，所以 .2rR。 360 ,从这个等式可以得到 2. 五360 这就是说，一定大小的圆心角所对的孤长和半径的比是确定 "93● ==========第102页========== 不变的；它和半径的长短没有关系.由此，我们可以看到，不论在哪个圆里，只要知道弧长和半径的比，那末，这孤弧所对的圆心角的大小就确定了.例如，孤长和半径的比等于1，也就是弧长等于半径的弧所对的圆心角是有一定大小的（图3·2).这样的角叫做1弧度的角。我们可以用它作为量角的单位， pR B B l=R 1弧度 弧度 R 图32 图33 为了和角度制区别开来，用孤度做单位来量角的制度叫做弧度制①， 2.孤长公式我们用字母9表示角的弧度数.因为1 弧度的圆心角所对的弧长等于半径R,所以弧度的圆心角 所对的孤长飞就等于pR(图33).就是 l=oR. 我们看到，采用了弧度制以后，计算弧长的公式特别简单例1.直径等于40厘米的轮子，以每秒45弧度的角速度旋转，求轮子圆周上一点在5秒钟内所经过的弧长. [解1轮子的半径R=0=20(厘米)。 ①孤度也叫做弪，所以弧度制也叫做弪制。 ==========第103页========== 因为轮子的角速度就是它的半径在1秒钟内所转过的弧度数，所以这个轮子的半径在5秒钟内所转过的角p=5×45=225(弧度). 因此，弧长7=226×20=4500（厘米）. 答：轮周上一点所经过的弧长是45米. 3。度与薄度的相互换算我们知道，整个圆所对的圆心角是30°的角.现在我们来计算整个圆所对的圆心角的孤度数 在公式？=pR中，用圆周长2R代替？，得 2nR-R. 因此， 、2R R 2. 这就是说， 360°=2s孤度 由此可以得到 1°=2死360 孤度一热0 弧度 3.1416 180 孤度≈0.017453孤度. 1弧度=60°180° 2n 玩 180o 8.1416≈67○18 利用所得到的关系，就可以对度和孤度相互换算。例2.·把15°化成孤度 【解115°=16×80瓢度=受弧度. 如果需要求得这个弧度数的近似值，那末我们可以这样计算： ==========第104页========== 15°=15×0.017453弧度=0.26180弧度， 例3。把C弧度化成度. [解于恶派度-7晋×10°=128. 10 角的大小可以说成1直角的几分之几，在弧度制中，我们通常把角的大小表示成匹弧度的儿分之几，而不用小数表示它的值.下面表中所列的是一些常要用到的角的度数和孤度数的对应值： 度 360° 180° 90° 60° 45° 30° 弧度 2r弧度 x孤度 :弧度常弧度 弧度 4 音狐应 记熟了这些对应值，对度和孤度作相互换算，有时可以方 便得多.例如115°等于0°的，所以把16°化成孤度，就应当是晋弧度×号-亚弧度，又如要孤度是号弧度的5倍，所以把弧度化成度，就应当是0×5-160. 按照习惯，在用孤度来量角的时候，“弧度”两字可以略去不写.例如a=气弧度，可以简写做a-,孤度的角 3,3 2r等等. 的正弦可以写做sin 我们把1°的圆心角所对的孤叫做1°的弧，同样把1弧度的圆心角所对的孤叫做1弧度的弧.因此，i山x,cos心等等不仅可以理解为角c的函数，也可以理解为圆心角x所对的弧的函数.进-一步，由于量一个角或者一条孤总是得到-一个实数，我们还可以把sinx,cosx等等看做是实数x的函数.但是，在把三角函数inx,Cosx等等看做数x的◆86v ==========第105页========== 函数时，我们要把数x理解为角或者孤的弧度数（不是度数），来求出对应的函数值.·例如in2应该理解为2弧度的角或者弧的正弦，co320是20弧度的角或者弧的余弦 习题3.1 1.把下列各角的度数化为弧度数： (1)2; (2)5°； (3)7°30'； (4)1230'; (5)22.5°；(6)200°； (7)320°， 2.把下列各角的弧度数化为度数： (1)0.4800; (2)0.0099; (3)2.6400; (4 (5) (6) (8)3x. 3.已知200°的圆心角所对的弧长等于50cm,求圆的半径 4.轮子每秒旋转5弧度，20花榜内转了多大的衡度？ 5.设地球为一圆球体，已知地面上纬度相差1°的两平行纬线相距 111.71km,求地球的半径 "6.地球与太阳的平均距离约为149460,000km,一人在地球上望见太阳所张的角为32'；求太阳的直径. 〔提示：~因为太阳所张的角很小，所以我们可以把以人眼为圆心，地球与太阳间的距离为半径所作圆上截得的弧，近似地看作是太阳的直径.] 7.一扇形的周长等于圆周长的一半，求扇形的角的度数。 8.求下列各三角函数的值： im;(②)o(-）(@)g；④cg(-2） 9.cos1°与cos1哪个大？又g1°与g1哪个大？ 10.一个大钟的长针长2尺8寸，20秒间针端走了几寸？ 11.有时我们用一种特殊的单位来度量角，这种单位叫做密位.1 密位等于整个圆的0的弧所对的圆心角。， ==========第106页========== (1)把1密位表示成孤度和度，把1度和1度表示成密位.(②)半径是R的圆上，一条弧所对的圆心角为n密位，导出弧长 1的近似公式（取=3）：=0. (3)物体AB的宽为16m,观测者在0点测得∠A0B=20密位，求观测者到物体的近似距离（把物体看作20密位的圆心角所对的弧，并取r≈3)。 §3·2用线段表示三角函数 我们知道，角的三角函数是两个数的比；它们也是数.为了研究的方便，对于任何个角，我们可以画出线段来，使它们的长带上规定的符号后（纵线段的符号规定和纵坐标的一样，横线段的符号规定和横坐标的一样)，所得到的数等于已知角的各个三角函数的值.这样的线段就可以用来表示三角函数 1。正弦线在直角坐标系里，以原点0为圆心，以1个长度单位为半径，画一个圆.这个圆通常叫做单位圆.设单位圆和角a的终边相交于点P(,y)(图34).从点P作心轴 的垂线MP. 根据正弦的定义， sin a=y 这里，是线段(OP的长.因为 =1, 所以 sin a=y. 这就是说，sina的值可以用线段MP的长连同它的符号来表示.线段MP叫做角a的正弦线 2。余弦线根据余弦的定义，在图34里， ·98" ==========第107页========== y y 巴 图34 c0sa=-化 r 10， 这就是说，cosa的值可以用线段OM的长连同它的符号 来表示.线段OM叫做角α的余弦线 3。正切线设单位圆和心轴的正方向相交于点A,和 角a的终边相交于点P(x,y).作MP垂直于x轴.过点A 作单位圆的切线交α的终边或者它的延长线于T(图3). ·99· ==========第108页========== 图35 根据正切的定义， ga=型 设点T的坐标是(x1,1),那末，由△OMP~△OAT,以及则和心的符号相同的时候，y1和c1的符号也相同，y和c的符号相反的时侯，1利1的符号也相反，可以看到 斐=1 ·100: ==========第109页========== y B p 0 图36 但 1=1, 因此， tga- 1 这就是说，gα的值可以用线段AT的长连同它的符号来表示.线段AT叫做角a的正切线. 4。余切线设单位圆和y轴的正方向相交于点B,和角a的终边相交于点P(c,y).作MP垂直于G轴.过点B 作单位圆的切线交α的终边或者它的延长线于S(图36). 101· ==========第110页========== 根据余切的定义， ctg a=w 设点S的坐标是(c2,y).由△OMP~△SBO,以及x和y的符号相同的时候，心2和y2的符号也相同，心和y的符号相反的时候，4和y2的符号也相反，可以看出 y ya 但 y9=1, 因此， ctg a-4a-as. Va 这就是说，ctga的值可以用线段BS的长连同它的符号来表示.线段BS叫做角a的余切线. 注意正切线AT的端点A是单位圆与正半x轴的交点，余切线BS的端点B是单位圆与正半y轴的交点，不能画错、 习题32 1.如果a+(n为整数)，试利用a的正弦线和余弦线验证 sin a+cos a>1 sin2 a+cos2 a=1. 2.当0°ina. §3·3三角函数的图象 我们知道，角的正弦，余弦，正切，余切等是由角的大小所。102 ==========第111页========== 确定的.对于每一个具有一定大小的角，一般说，都有确定的 三角函数值和它对应.在§16里我们已经看到，当锐角的大小变化的时候，它的三角函数值也就相应地发生变化.这就是说，三角函数n,c0sc等的变化，是由角c的变化所引起的.我们把x叫做自变量.为了使自变量的变化所引起的三角函数的变化很明显地表示出来，我们可以利用代数中所讲的用图象表示函数关系的方法 1,正弦函数U=inc的图象作三角函数的图象，角心的大小通常用弧度做单位.心轴和！轴采用同一个长度单位.心轴上的一个长度单位表示1弧度；y轴上的一个长度单位表示1. 我们先给￠以0到2π的一些值，计算出和它们对应的y 的值（精确到0.0）.在下表中，假设的值的间隔是晋（就 是30). 3 0 若 雾 罗 5wr 3 6 y 0 0.50 0.87 1.00 0.87 0.50 7 5元 11x 6 3 2 3 6 2w -0.50 -0.87 -1.00 -0.87 -0.50 取一个适当的长度单位，例如，我们可以取1厘米的线段作为长度单位 因为2x=2×3.1416≈6.28，所以我们在心轴上从原点 ·103● ==========第112页========== 0起，向右截取长6.28厘米的-一条线段.把这条线段分成12 等分，每一等分的长就是晋厘米（近似于0.52厘米）.于是在女轴上，我们得到依次表示晋，受，受…的点。这样，我们 很容易作出把表中的每一组对应值作为坐标的点.用一条平滑的曲线把这些点顺次连结起来，就得到正弦函数y=sn心从=0到x=2m的一段图象（图3.7）.很明显，这样作出的图象只是近似的.图象上的点作得越多，画出的图象也就越精确 2 ☒图37 我们知道，终边相同的角的三角函数值相同.当角：从2r增大到4元，从4玩增大到6m,等等，或者从一2m增大到0,从一4r增大到一2，等等的时候，因为角的终边仍取得0到2死的各种位置，所以角的正弦必然也仍取得0到2c的各个角的正弦的值.因此，正弦函数y=inG在c>2r或者心<0的各段的图象，可以用重复描绘心从0到2m间的一段图象来得到（图3·8）. ·104● ==========第113页========== 图38 我们还可以纯粹用几何方法作正弦函数的图象. 作单位圆0（图3.9）.从因上的点A起把这个圆分成12等分，同 时把对应的圆心角也分成12等分.过 圆上的各个分点分别作OA的垂线，得 到0到2π的各个角的正弦线.例 P 如：∠AOP=言，它的正弦线是MP; ∠A0P,=胃，它的正弦线是M,P;等 M,M 等.这些正弦线的长连同它们的符号表示对应的角的正弦值. P P10 在直角坐标系里，过x轴上表示 音，牙…的点作x轴的垂线。在这些 图39 垂线上，按照对应角的正弦线在OA的上方或者下方，分别向上或者向 下截取等于正弦线的长的线段.这样，我们不利用x和y的对应数值表，也可以作出图3.7中的y=snx从x=0到x=2x的一段图象. 在图38中可以很清楚地看出正弦函数的下列性质： (1)对于绝对值相等、符号相反的两个您值，snc的绝对值相等，符号相反； (2)对于相差2t的两个c值，inc的值相等； •1050 ==========第114页========== (3)当心从一受增大到受时，s血的值逐渐增大；当从受增大到时，s云的值逐渐减小 (4)sin心的值最大等于1，最小等于一1；等等. 2。余弦函数U=C0sx的图象要作余弦函数y=C0c 的图象，我们也可以先给x以0到2m每隔的一些值，列出 心和y的对应数值表： 零 登 6 0.87 0.50 0 -0.50 -0.87 -1 7元 4π 11x 29 6 3 2 3 m0.87 -0.50 0 0.50 0.87 把每一组对应值作为点的坐标，作出对应的各点，再用平滑的曲线把它们连结起来，就得到余弦函数则=co3c从花二0到x=2r的一段图象（图3.10）..· 根据始边和终边都相同时角的余弦也相同这一性质，在心等于2元到4,4r到6m,…,或者-2m到0，-4到 一2，…的各段内，重复描绘0到2m的一段图象，可以得到任何范围内的余弦函数的图象（图3·11）. 利用图3.9中的余弦线OM1,OM2等，我们也可以用几何方法作出 余弦函数的图象， 3。正切函数！=tgx的图象当角的大小变化时，它的正切的值变化比较刷烈，所以要作正切函数y=g心从=0 ◆106 ==========第115页========== 2 图310 2客 4 图311 到心=2x的图象，我们除了给四以每隔的一些值以外，再插 5元7元17元19r 进，12,12’12等几个值，列出心和则的对应数值表。列表时还要证意，当8一受和云=的时侯。g是不 存在的. 把每一组对应值作为点的坐标，作出对应的各点.因为当x的值由左边和有边趋近于受时，y分别取正值和负值，并且绝对值无限增大，所以用平滑的曲线连结各点 时，在=受的左边，曲线应向上无限伸展，在如=受的右边， ÷1076 ==========第116页========== 0 丽6 死 5 7π 2 5ar 12 名 12 3 6 0.58 1.73 3.73 -3.73 -1.73 -0.58 0 Tor 4m 17x Bov 19x 5w 11w 2at 6 3 1 2 1出 6 0.58 1.73 3.73 -3.73 -1.73 -0.58 曲线应向下无限伸展。在心=的近旁，曲线伸展的情况也是一样.这样，我们就得到三条曲线（图3·12）.它们是y=tg心从x=0到=2x的图象 把上面画出的图象重复描绘在=2r到x=4玩，龙=一2w到心=0等各段内，可以看到，正切函数的整个图象是由无数 条曲线所组成的。它钉被轴上过点士分士，…的垂线 隔离着（图3·13）. 因3.12 。108+ ==========第117页========== 图813 用几何方法也可以作正切函数的图象.作单位圆O(图3.14).从 圆上的点A起把这个圆分成12等分. 过各个分点作圆的半径，得到以OA 为公共始边的0到2m的各个角.过 A作圆O的切线，交各条终边或者它 们的延长线于T,T2,….我们就得 到言胃，…的正切线A7,42,…. 根据它们的长和应取的符号，就可以作出函数y=tgx的图象上的点. 在图3·13中，可以看出正切函数的下列性质： (1)对于绝对值相等、符号相反的两个￠值，g心的绝对值相等，符号相反； 图314 (2)对于相差元的两个心值，gc的值相等； (3)当从一罗增大到受时，g的值逐渐增大： ·109· ==========第118页========== (4)gx可以取任何数值；等等. 4.余切函数！=ctg的图象先给从0到2r间的 一些值，列出x和y的对应数值表： 2 0 死 2n 5o 11w 1 6 3 3 12 3.73 1.73 0.58 -0.58 -1.73 -3.73 13r Ta 4元 3n 5ax 11w 23x 2o 12 6 3 2 3 6 12 3.731.73 0.58 0 -0.58 -1.73 -3.73 注意，当心=0，匹和2π时，cg心不存在.把每一组对应值作为点的坐标，作出各点.按照点的分布趋势，用两条平滑的曲线把它们连结起来，就得到x=0和x=2间的余切函数的图象（图315）. 余切函数的整个图象，是被经过c轴上的点O,士元，±2x,…所作的x轴的垂线隔离开来的（图316）. y 3 图3.15 0110◆ ==========第119页========== 2% 图316 利用图3.17中0到2m间各个角的余切线，.我们可以用几何方法作出余切函数的图象。 B 图317 习题33 1.从y=in云的图象，说明：(L)从-3到-r时，sinx的償增大还是减小？是正还是负？2)sin(一210°)与sin(-60)的值哪个 0111◆ ==========第120页========== 大？（③）对应于=言i有多少个值？（④对应于加：-号，世有多 少个值？ 2.从y=cox的图象，回答下列问题：(1)当x从一死变到-常的时候，cosx的值增大还是减小？是正的还是负的？(2)x是什么值的时候，Cosx的值是零？(3)x是什么值的时候，Cosx取得极人值和取得极小值？ 3.y=sin心和y=cosx的图象中，哪一个关于原点为对称？哪一个关于y轴为对称？ *4.作出下列各函数的图象(0≤优≤2m),并且和y=ix的图象相比较，说明这些图象和y=inx的图象的区别： (1)y=sinx; (2)y-2sin x; (3)y=in2x; (4)y=1+sin x. 5.从y=tgx和y=tgx的图象，回答下列问题：(1)对于x的哪些值，gx不存在？Ctgx不存在？（②）x是什么值的时候，培x的值是零？ctgx的值是零？(3)坞x和ct铭x的值存在的时候，是增大还是减小？ §3·4三角函数的定义域 我们已经知道，对于正弦函数和余弦函数来说，不论角a取什么值，sina和cosa总是有意义的.但是对于其他四个函数米说，就不是这样，例如当α=受时，g受是不存在的，现在我们来研究，在各个三角函数中，角α取值的范围究竟是怎样的？ 设P(,y)是角a终边上的-一点，OP的长为T.根据角的正弦的定义，sina=g.不论角a的终边在哪里，sina总是 存在的.因为我们总可以在终边上取一点P,使OP的长不 ◆.112 ==========第121页========== 等于零，从而可求出义的值。由此可知，正弦函数=s血的自变量心可以取任何实数值. 某一个函数的自变量可以取的值的全体，叫做这个函数的定义域.例如，正弦函数的定义域是一切实数 同样，根据余弦的定义c09a=票，可以知道余弦函数的 定义域也是一切实数. 根据定义，ga=兰.当a-受或者时，终边上任意一 点的横坐标等于零，所以角α的正切不存在.我们还知道，和 受终边相同的一切角是2+受：和终边相同的一切角是2m十一（②m+1)m+受，这里n是任意整数.这些角 的正切当然也不存在.因此，正切函数的定义域是除掉2c十 受和(2n+1)+受以外的所有实数.注意2是偶数，2m+1 是奇数.任意整数不是偶数就是奇数.这样，我们还可以说 得简单些，正切函数的定义域是除掉死+受以外的所有实 数，这里k表示任意整数 同样，从余切函数的定义ctga=,可以知道，当a=0和a:=π的时候，由于终边上任意一点的纵坐标等于零，角a的余切不存在.和这些角的终边相同的角2mr和2mc十元=(2m十1)π的余切也不存在.所以余切函数的定义域是除掉2mr和(2m十1)π以外的所有实数，或者简单地说成除掉飞元以外的所有实数 在研究任何一个函数的变化性质以前，首先要明确它的 ·113· ==========第122页========== 定义域.因为只有当自变量取它可以取的值时，才可以研究函数值的变化，反过来说，如果自变量所取的值不在定义域内，那末函数值根本不存在，当然谈不到函数值的变化了. 例1，求函数g的定义域。 【解]根据正切函数的定义域，可以知道， 受w十受， 就是 心≠2nr+匹，c≠(2m+1)匹. 所以函数g受的定义域是除去（②m+1)元以外的全体实数，这里n是整数 例2.x在什么条件下，恒等式sin w cosec=1能够成立？ 【解】函数sin心的定义域是全体实数，但是函数cosec心的定义域是除去的全体实数.所以这个恒等式只有当 花牛nr 时才能成立，这里%是整数. 习题34 1.求下列各函数的定义域： (1)y=ctg号； (2)y=Vsin a; (3)y-tg+s0 (4)y-tarctan. 2.x在什么条件下，下列各恒等式才能成立？ (1)tg2a=sin 2x cos 2 (2)tga.ctgx=1; (3)sec 4x=-1 cos 4 (4)sin2x+cosx=1, •114◆ ==========第123页========== 3。设a=雪，下列各诱导公式哪些是正确的？哪些失效？ (1)6in(c+)=-6ina; (2)g(匹+a)=tga; (3)ctg(a +a)=ctga; (④)g(g+a=-ctga; (5)scc(a-a)=-sec a; (6)cosec+a). §3·5三角函数的性质 在§33中，我们已经从图象上直观地看到，当自变量在定义域中变化时，三角函数随着变化的某些性质.在这一节中，我们将根据三角函数的定义，有系统地研究一下这些性质。 1。三角函数的奇偶性 我们看到，图3·8正弦函数y=nx的图象是对称于坐标原点的.绝对值相等而符号相反的两个父值，对应着不同的y值，它们的绝对值相等而符号相反.实际上，从诱导公式 sin(-)=-sin c 可以知道，改变自变量的符号，函数值的符号也改变，但绝对值不变.我们又看到，图3·11余弦函数y=Cosx的图象是对称于y轴的.绝对值相等而符号相反的两个x值，对应着相同的y值。实际上，从诱导公式 cos(-=CoS 可以知道，改变自变量的符号，函数值不变 一般地说，设f(x)是x的任何一个函数，如果 f(一x)=一f(x), 那末f(x)叫做奇函数；如果 f(一x)=f(x), 那末(x)叫做偶函数. 这样，我们可以说：正弦函数y=nx是奇函数；余弦函数y=Cosx ·115· ==========第124页========== 是偶函数。 如果点(，y)是奇函数的图象上的一点，那末（一x,一y)一定也是它的图象上的一点。所以奇函数的图象对称于原点.如果(x,y)是偶函数的图象上的一点，那末（一，y)一定也是它的图象上的一点.所以偶函数的图象对称于y轴. 因为g(一)=一g龙，ctg(-)=一gx,所以正切函数和余切函数都是奇函数，它们的图象都对称于原点。 习题35(1) 1.对于x的任意值，sc(一x)=secx是不是总能成立？函数y= Eecc是不是偶函数？ 2.对于x的任意值，cosc(一x)=-cosec是不是总能成立？函数y=COs℃是不是奇函数？ 3.决定下列各函数是偶函数，还是奇函数，或者都不是：(1)xix; (2)]sin;(3)cos 2x+sec x;(4)sing+cosx;(5)sinx+ctgx;(6)sin(180 +a);()oc(3+(3)o3aia;(9g2r+(10)ycg(r-x. 4.根据sinw=sin(一w)=0,能不能就此断定in然是偶函数？为什么？ 2。三角函数的周期性 在s33中作正弦函数y=snx的图象时，我们利用有相同始边和终边的角的正弦都相等这一性质，重复描绘x从0到2间的一段图象来得到任意范围内的正弦函数的图象.由于始边和终边都相同的角相差2π的整数倍，上述性质可以用下面的式子表示： in(x士2r）=sin(x主4w）=…=sinx 当自变置在函数的定义域内变化，如果对于它的一切值每增加一定值（正数或者负数）的时候，函数值重复出现，那末，这样的函数叫做周期函数.这个一定值，叫做这个周期函数的周期. 这样，我们可以说，正弦函数是周期函数，士2匹，士4”，…都是它的周期.根据三角函数的定义，我们很容易知道，其他的三角函数也都是周期函数，并且士2π，士4，…也都是它们的周期. ◆1160 ==========第125页========== 对于一个周期函数y=(x)来说，如果存在一个最小正数1，能够使 f(x+1)=f(g) 这个等式对于x在定义域内的一切值都成立，那末，？叫做函数()的最小正周期. 正弦函数的最小正周期是2m.因为 8in(x+2r）=ginx, 所以2π是正弦函数的周期.是否还有小于2优的正数1能够使 sin (x+)=sin x (1) 对于心的一切值都成立呢？我们用反证法来证明这样的数不存在。假定我们能找到某一个小于2π的正数？，使等式(1)对于x的一切值都成 立。那末当=会时，等式（也应当成立。但当=受时，等式(）变成 sin(+in受， 也就是 cos l=1 这是不可能的，因为小于2m的正角的余弦都不等于1.所遇到的矛盾证明了正弦函数的最小正周期是2π. 相仿地，可以证明余弦函数的最小正周期也是2元。我们再来证明正切函数的最小正周期是证。根据诱导公式 tg(十r)=tg, 可以知道元是正切函数的周期.假定存在小于x的正数？能够使 tg(x+1)=tgz (2) 对于x一切可以取的值都成立.我们令x=0.于是等式（②）变成 tg1=0. 但小于x的正角的正切都不等于零.推出的矛盾就证明了正切函数的最小正周期是c. 相仿地，我们可以证明余切函数的最小正周期也是元. 因为正弦函数和余弦函数的最小正周期是2，所以它们的图象每过2一定重复出现，因为正切函数和余切函数的最小正周期是x,所 ·117 ==========第126页========== 以它们的图象每过？必重复出现.画周期函数的图象，只要画出一个最小正周期内的图象，然后在右边和左边重复描绘就可以了.因此，找出周期函数的最小正周期，对于描绘图象和研究函数的性质有很大的邪助. 下面举例说明怎样求某些三角函数的最小正周期例1.求y=2co33x的最小正周期 【解]这就是要找出对于x的一切值能够使 2c0s3(x+)=2c0s3x (a) 成立的最小正数？. 因为余弦函数的最小正周期是2x,所以2元是加到3x的一切值上，能够使函数值重复出现的最小正数： 2c0s(3x+2π)=2C0s3x. 这个等式可以写成 2os3(e+2)=2C0s3x. 和等式(a)比较，我们看到 25 3 所以这个函数的最小正周期就是3· 2 例2.求y=g(位+)的最小正周期。 【解】因为正切函数的最小正周期是匹，所以x是加到+的,一切值上，能够使函数值重复出现的最小正数： (+言+)=g(受+. 把这个等式写成 g[2(e+2m)+若]=g(爱+). 根据最小正周期的定义，就知道这个函数的最小正周期是2π。例3.求y=26in(4如-)的最小正周期. 【解】因为 ·118· ==========第127页========== 2in(4红-营+2m）-3in(4r-影)， 就是 2n[4(e+）]-2in(红-) 所以原来函数的最小正周期是， 习题3·5(2) 1.等式(g+ 2o）=in7g 能不能成立？如果能成立， 能不能说2"是i咖x的周期？为什么？ 2.求下列各函数的最小正周期： (1)y=-ctg2; (2)y=8inx; (3)y=2 sina+》方 () y=te(+중) (5)y=cos-7 (6)y=sin2x+c083x, 3.求证y=86cx的最小正周期为2r, 4.举出一个周期函数的例子，它的最小正周期是： (1)3π； ②)중i ); (4)④ 5.求证g=i血(a>0的最小正周期为2a,3。三角函数的单调性 观察三角函数图象中曲线的升降，可以得到关于函数值增减的一个初步印象。为了进一步明确三角函数值当自变量在不同范围内变化时的增减情况，我们可以利用三角函数线，因为它们直接表示三角函数的值.显然，由于三角函数具有周期性，对于任何一个三角函数，我们只要研究它在一个最小正周期内的变化就可以了.现在对各个三角函数分别讨论如下： 在图3·8的正弦函数图象中，我们看到，在从一受到这 ·119● ==========第128页========== 个最小正周期里，正弦函数的值先增大，后减小。现在观寮图39中对 应于-吾到的正弦线的变化，注意它们的长和它们所对应的数的 符号，我们很容易知道. 当从-营变到0时，nx从-1增大到0； 当x从0变到号时，inx从0增大到1；当工从受交到x时，i血：从1减小到0；当女从击变到时，i血x从0减小到-1. 由此可知，当角x增大时，适合于一名≤：≤受的角的正弦增大；适合于号Y,3的角a的范围(a是0到2r间的角 4.求同时适合于inau≥言和ga≤-1的角a的范图(a是0到2间的角). 5.角a的终边在哪些象限内，y=1一ina递增？哪些象限内递减？ 6.已知y=一gx,公在什么范围内，函数递增？龙在什么范園内，函数递减. 7.当a在第三象限内变化时，六个三角函数中哪几个递增？哪几个递减？ 4。三角函数的有界性 在图3.8和图311的正弦函数和余弦函数的图象中，我们霜到，曲线的上下变动范围，不超过一个单位.相反的，在图3·13和图3.16中，正切函数和余切函数的图象，都是由向上和向下无限伸展的曲线所组成的。 ·1220 ==========第131页========== 实际上，在单位圆中，正弦线和余弦线的长不能超过圆的半径.这说明角的正弦和余弦的绝对值不能超过1；就是 sina≤1，cos a≤1. 而正切线和余切线可以无限的长，因而可以知道，角的正切和余切的绝对值是不受限制的， 如果存在一个正数N,对于自变量x的每一个可以取的值，函数f(x)的绝对值不超过N,就是 f(x)l≤N, 那末，这个函数叫做有界函数，否则叫做无界函数. 因此，正弦函数和余弦函数都是有界函数，正切函数和余切函数都是无界函数. 有界函数的图象一定夹在平行于x轴的两条直线之间，无界函数的图象就不是这样. 习题35(4) 1.y=seC是有界函数吗？为什么？ 2.已知a,b都是正数，且a+b,下列等式中哪些不能成立？为什么？ (1) 2ab C08 a=a2+82 (2)sin a=a2+8 2abi (3)sec a=-2 Vab at8 i (4)c08a=a2+1. 2a (5)sin a=a+ 3.已知绍x无界而c0sx有界，y=gxC0sx是有界还是无界？ §3·6一般正弦函数y=Ain(nx+a)的图象现在我们来研究物理学中很有用的一个函数y=Ain(nc+a)的图象.为了便于理解，我们先举例说明怎样画y=Ainx,y=sinc,y=in(x+a)的图象. ◆128· ==========第132页========== 1。y=A1n化(A>0)的图象例1。画出函数y-2inx的图象. 【解]对于x的每一个值，y=2inx的图象上的纵坐标是y=in图象上的纵坐标的2倍.因此，要画出y=2inx的图象，只要把y=inc的图象上每一点的纵坐标乘以2，而横坐标仍保持原来的值（图3.18）. 函318 例2.画出函数y=空in女的图象. 【解】把y=im的图象上链一点的纵坐标乘以受，而横坐标仍保持原来的蕴，就可以得到y=i:的图象（图3-19）。 图319 ·1249 ==========第133页========== 一般地说，要画出y=Ain龙的图象，只要把y=sin心的图象上各 点的纵坐标乘以A,而横坐标仍保持原来的值. 在函数y=A sin(A>0)里，数A叫做振幅.由y=sinx的图象得到y=A sin x的图象，叫做振幅变换. 2.U=innc(n>0)的图象例3.画出函数y=ain2c的图象. 【解]在函数y=sin2ac中，知果x的值等于函数y=inx中x的值的一半，那未两个函数的值相等.例如，在函数y=sin2g中，令x= 在数ッー血、中，ー个数布学。 由此可知，要画出y=sn2c的图象，只要把y=sinx的图象上每一点的横坐标除以2，而纵坐标仍保持原来的值（图320）. 图320 1 例4.画出函数y=sin2x的图象， y 图321 ◆125● ==========第134页========== 【解】把y=sinx的图象上每一点的横坐标除以是，7而纵坐标保持原来的值.就可以得到y=sin号c的图象（图321）. 一般地说，要画出y=sin na的图象，只要把y=sinx的图象上每一点的横坐标除以，而纵坐标仍保持原来的值 函数y-in(m≥0的呢粥是2，而函数y=az的周期是 2m,由y=sinx的图象求得y=innx的图象叫做周期变换. 3。V=sin(x+a)的图象 例5.画出函数y-in(x+军)的图象. 【解】在函数y-sin(x+圣)中，如果x的值等于函数y=sinx中血的值减去年，那末两个函数的值相等.例如，在函数gy=一si(+星)中，令=受，在函数y=i加中，令x=,两个函数的值都等于V 2 由此可知，要画出y=in(如+)的图象，只要把y=inz的图象上每一点的横坐标减少年，而纵坐标仍保持原来的值，这只要把y轴向右平移等于牙的一段距离就可以了.在图322中，曲线对于用虚线画出的y轴来说，是函数y=inx的图象，对于y轴来说，是函数y=in(如+圣)的图象. 例6.画出函数y=i(-)的图象. 【解1要画出v=sin(女-)的图象，应当把y=inx的图象上每 一点的横坐标增加，而纵坐标仍保持原来的值，这只要把y轴向左平移等于弩的一段距离就可以了、在图323中，曲线对于y轴来说，是函数割=ix的图象，而对于gy轴来说，是函数y=in(一)的图象. ·126◆ ==========第135页========== 图322 323 一般地说，要画出y=sin(x+a)的图象，应当先画出y=8inx的图象.当a>0时，把y轴向右平移一段距离a;当a<0时，把y轴向左平移一段距离a{. 在函数y=in(x+a)中，x+a的值叫做相位.对于同一个x值，y=sin(十a)与y=inx有不同的相位.把y=inx的图象变成y=in(x+cx)的图象，叫做相位变换. 综合应用上面各个例题中的方法，我们来研究函数y=Ainc和y=Asin(nx+a)的图象， 例7.画出函数y=2in3x的图象. 【解]把函数y=ix的图象上每一点的横坐标除以3，纵坐标乘以2，就得到函数y=2in3x的图象上的点（图3·24）， ·1270 ==========第136页========== 图3.24 一般地说，要画出函数y=A sin no的图象，只要把函数y-8in￠的 图象上每一点的横坐标除以，同时把纵坐标乘以A. 例8.画出函数y=2sin(3ax+r)的图象. 【解】先画出y=2sin3ax的图象， 把y=2in(3c+m）写成y=2sin3(r+号.从后面个等式可以知道，把gy=2i3x的图象上每一点的横坐标减少多，而纵坐标保持原来的值，就能够得到y=2sin(3x+元)的图象上的点.这只要把y轴向右平移等于号的一段距离就可以了.在图325中，曲线对于轴来说，是y=2sin3r的图象，而对于y轴来说，是y=2sin(3x+x)的图象 y 图325 0128◆ ==========第137页========== 一般地说，要画出y=Ain(nc十a)的图象，应当先画出y=Ainx的图象，然后把y轴向右或者向左平移等于a的一段距离.当a>0 为 时，向右平移；当α<0时，向左平移，对于新的坐标轴来说，曲线就是y=Ain(nx十a)的图象. 习题36 1.作出下列各函数的图象(0≤x≤2)，并且和y=sinx的图象相比较，说明这些图象和y=inx的图象的区别： ()y=2im(c+) 2)y=im(号-2x. 2.不画出下列各函数的图象，说明这些图象和y=six的图象的区别： (1)y=3in(-2 ②)g=子血(2x+1）. 1 3.作出g-3o(2+）的图象，并且说明和y=cosx的图象的区别 4.作出y=2o(言-3如)的图象，并指出它的最小正周期和单调区间. 5.作出y青血（行+）+2的图象，并指出它的最小正周期和单调区间. 6.利用图象求适合于i(x一1)=一1的x的值。 本章提要 1./度和弧度的相互换算公式 1=0弧度， 1弧度=180 2.三角函数线设单位圆0和角α的终边相交于点P(图3.26)， 那末 sina=y,cos a=,tga=y1,ctg a=a. 129● ==========第138页========== T(1,y) S(,y) B S(:) B P(s,y) P(;y) T1,) B S(） S(2) B T(,h) P(,） P(ey） T(111) 图828 B.三角函数的定义域和基本性质 函 数 定义 奇偶性 最小正周期 y=n化 一切实数 奇 2ar y=cos 一切实数 偶 2x y=tg x 北中际+乐 奇 嘴 y=ctgx 第中g 奇 ·130· ==========第139页========== 函 数 递增区间 递减区间 有界性 y=sin a 24n- ①， 2+]2noe+，2nr十 Bov 有界 2 y==cos [2no+a,2ng +2w] [2ma,2nor+w] 有界 y=tga 无界 y=ctg x (t,t+π) 无界 复习题三 1。设两角的差为1°，它们的和为1弧度，这两角各有多少弧度？ 2.设地球的直径为12714公里，张于太阳的角为17.5”，已知太阳的光线经过8分18.3秒达到地球，光线的速度是每秒多少公里？ 3.作出角a的正弦线，余弦线和正切线，验证：ga=gin a Cosa● 4.c在什么范围内，下列各式可以成立：1)gx-√3<0； (3)Isin 2 5.求下列各式中x和y所在的区间： (④y-√asz-Y, 2； (2)y=ctg x sin x; (3)y=1+√secx. 6.x在什么范围内，下列等式才能成立： (1)Icos =cos(-); (2)cosl=cos(-x); (3)linx=一ginx, 7.当x取0到2π间的什么值的时侯，y=inx一cosx的值： (1)变成0； (2)是正的； (3)是负的. 8.in2与sin3哪个大？又sec1与ec2哪个大？“9.求下列各函数的最小正周期：(].)y=sin aox; (2)y=tg a+C08 O; g=+3〉 10,举出一个周期函数的例子，它的最小正周期是： ·131· ==========第140页========== (1)2; (3)5m, 11.|sinx和sinx是否同是偶函数或奇函数？如果它们有相同的奇偶性，能不能说sinx=inx?为什么？12,f(x)在什么条件下，f()才是偶函数？ *13.求y=-i2心的单调区间和最小正周期.它是奇函数还是偶函数？ 14.作y=inz+oe和y=√区in(暑+2)的图象，它们有什么区别？ *15.下列各函数在x取什么值的时候有极大值或者极小值？极大值和极小值各等于多少？ ()y=3+(는+)2②)y=2-i(3-￥）[例如：求g=3sin(2x+智)的极大值和极小值. 解：因为im(x+智）的极大值为1，所以当2s+弩-2x+受，即”=n+是时，g=3sin(2x+置)取得极大值3；又因si(2x+智）的极小值为-1，医此当24+号-(2+1)+罗耶：=，202+壶时，2 y=3in(2x+答)取得极小值-3.] ”16。作y=1-si(台+)的图象，并观察出它的单调区间，极大值和极小值. 17.作y=一g号的图象，并和y=绍号的图象比较，它们有哪些区别？ "18.作y=incx的图象，并求出它的单调区间. *19,作y=1+in(2x+1)w的图象，并指出与y=nrx的图象的区别 *20.利用图象求适合于cg=in受(f<2m)的角x(精确到0.1弧度). ·132◆ ==========第141页========== 第四章加法定理和它的推论 §4·1两角和的正弦和余弦 前面我们学过了含有一个自变量α的三角函数.在实际 应用上，我们也常常会遇到含有两个自变量，B的三角函 数.例如in(a+B),c0s(a+)等等. 函数in(a+B)和cos(a+B)分别叫做两角a,B的和的正弦和余弦. 我们应该注意，两角和的正弦i(a十B)，一般地与两角的正弦的和ina+inB是不相等的..例如我们知道 sin(60°+30)=in90°=1. 但是in60°+im0°-Y3+号=√3+1≈1,66， 2、22 所以 sin(60°+30)≠sin60°+sin30°， 同样地，两角和的余弦cos(α+B),一般地也并不等于两角的余弦的和。例如 c09(60°+30)≠c0g60°+c0g30°， 怎样用两个角的三角函数来表示这两个角的和的正弦和余弦呢？ 这一节里，我们先就两个角都是锐角，并且它们的和也是锐角的情况来研究. 1。两角和的正弦我们来证明，当两个角，B都是锐 角，并且它们的和a十B也是锐角的时候，总有 ●t33v ==========第142页========== sin(a+8)=sin a cos B+cos a sin 8 【证】作∠AOB=a,并且以它的终边OB为始边，再作 ∠BOC=B,那末∠AOC就等于 a+B(图41)， 由C作OA的垂线DO和OB 的垂线EC. G 由E作OA的垂线FE和 DC的垂线GE. 因为∠DCE的两边DC和 图41 EC与∠AOB的两边OA和OB分别垂直，并且这两个角都是 锐角，所以 ∠DOE=∠AOB=a. 在图中我们看到， sin (a+B)-DO DG+GO FE GO00 00-0000 但在直角三角形EOF和COE中， FE OE 0瓦 =in a,00=00sB, 因此， FE FE OE 00=0E0C-sin a co B. 又在直角三角形ECG和COE中， GO EO E可=c09c,O0=sin B. 因此， GOGC EC O0一E0G0=cos a sin 8. 所以 sin (a+8)=sin a cos 8+cos a sin B 例1.求in75°的值（精确到0.001）， 。1840 ==========第143页========== [解】in76°=sin(45°+30) =sin45°c0g30°+c0s45°sin30° =.③+Σ.1=√6+z 22 22 A 2.449+1.414=3.863=0.966. 4 A 2.两角和的余弦利用图41，我们也很容易证明当a,B都是锐角，并且它们的和a十B也是锐角的时候，总有 cos(a++B)=cos a cos 8-sin a sin B.[证]在图4·1中，我们可以看到 co9(a+B)=-ODOF-DFOF GE 0 0C O000· 但在直角三角形EOF和COE中， OF O花 c0s=c03B, 因此， OF OF OE 00一0E00=cos a cos 8。 又在直角三角形ECG和COE中， GE =gin a, ECEC =sin B, 因此， GEGE EC 00E0O0 gin a sin B. 所以 cos(a++8)=cos a cos 8-sin a sin B. 例2.不用查表，求 c0g42°c0g18°-gin42°sin18° 的值. [解]因为42°+18°=0°，我们可以反过来应用两角和的余弦公式，得 ◆136● ==========第144页========== cos42°cos18°-sin42°in18°=c0g(42°+18) =c0860°=1 习题41 1.不用查表，求cos75°的值（精确到0.001）.~ 2.已知血9=号，且0<0<0，求im(0+30)的值.1 3.已知0e日-是，且0°<0<46，求c0s(8+45)的值. 4.不用查表，求下列各式的值： (1)gin13°cos17°+cos13°in17°； (2)sin42°cos18°+co842°in162°； (3)cos215°-in215°； (4)8in70°cos25°-gin20°sin25°； (5)sin40°sin20°-cos40°cos20°. 5.巳知00,0oeg<0,gg<0.应用公式，得到 sin 13 5 2 5 3 1+6 C09 2√5 6 2 5 16 、1 2 1+3 2 (2)当的终边在第四象限内时， ◆158· ==========第164页========== m受<0，c受>0，g受<0.应用公式，得到 3 sin c 1一62 2 6￥ 3 cos =V1+6 2W5 2 5 3 1- g 1+3 5 g号也可以用ina和co9a的不带根号的式子来表示. sin a g 22 sin cos sin a 2 2owe号1+c09a cos 2 就县 tg sin a 1+cos a (3) a 2sin2a sin 同样，g 6 1-cos a cos? 2 2 sina a sin a 2c09 就是 1-cos asin a (4) 应用这两个公式时，只要知道角a的终边所在的象限，可不必先分析受的终边所在的象限，就求出g受的值. ·156● ==========第165页========== 例如，在例3里，已知60sa-号，并且a的终边在第四象 限内.我们先算出sina的值. 因为角a的终边在第四象限内，所以sina<0.因此， sin a=-1-cos a应用公式g受-18么，得到 3 15 g2 。4 2 6 我们看到，这样计算就比较方便 公式(3)和(4)不仅可以根据sina和cosd的值，用来求 g受在化简三角函数式或者证明三角恒等式的时候，也很有用. 例4.化简： 1+sinθ-cos0 1+sin0+cos0· 1-c0g6 +1g习+1[解] sin 6原式=1+c0s6 8 +11 =tg2 sin 0 +1 习题46 1.已知co8a=-品，血分o受和受 2.已知aa=有且警 (9) 1--cos a 1-cos a 1+c09a sin a; sin a 1+c0s: g (10)sin a cos B=1[sin(a+B)+sin(a-B)]; (sc) (11)cos a sin 8=-[sin(a+8)-8in(a-B)Jj (CS) (12)cos a COs B =ama+9的+oasa-B]: (CC) (13)sin a sin B=-【oasa+8)-ca8(a-81]5 (SS), (14)sin ainin 2 2 (8+S) (15)sin a-sin B-2co6 ein 2 2 (S-S) (16) co -+ -200 共은cs 9,B 2 2 (C+C) (17)cosa-cosB--2sin ein&-8 2 (C-C) 2.各个公式间的关系 Ta-8以-代 当ax=B时 Taa 相除 「相除 % Sa-B以-B代BSatb 当a=B时 Saa以豆代4 Ca-b Car8 C3a a士B的同名函数相加与相减 SC 8+8 CS 变形 8-8 CC C+C SS C-0 图43 ◆173· ==========第182页========== .ainx十b60s的变形在a血z十bcs公中，令吾-g印，就得到 a sin x+b cosain(x+p） cos p 复习题四 1. 已如0s9=员，270<0<360，求g号和g29. 2.已知ga=分，求mcag2a+nin2a. 3.已知ga=,g8=司，求g8-2a. 4.设0，日，Y都是锐角，它们的正切依次为子，言，号；求证。 a+B+Y=45°， 5.不用查表，求下列各式的值： (1)sin20°+gin40°-sin80°； (2)cog20°+c0s60°+cos100°+c08140°； (3)cos40c0s80°cos160°， .设ina+inB=a,cosa+cosB=b,求g)P 7.在直角三角形ABC中，∠B=0°，CD是∠C的平分线，已知 AD=b,DB=a,求BC的长. 1 8.求证2n10-208109=8.提示：左边=1n30c0s300 =mn10°cos10°·J "9.已知tga:和gB是方程x+6x+7=0的两个根，求证 sin(a+B)=cos(a+B). *10.已知ga和gB是方程x+pa+q=0的两个根，求下式的值： sin2(a+B)+psin(a+B)cos(a+B)+g cos(a+B). 11.在一个圆的圆心的同旁作平行的两弦，这二条弦所对的圆心角各为72°与144°.求证这二弦间的距离等于半径的二分之一. 12.求证g6tg42g66tg78°=1。 ·174 ==========第183页========== 13,求证 1 1 in(a-B)sin(a-y)in(B)sin(B-a) 1 1 n()sin(y B)2coscosycos 2 2 2 "14.求证co847°-cos61°-c0s11°+c0s25°=6in7°. 15.设A+B+C=m,求证 ctg A ctg B+ctg B ctg C+ctg C ctg A=1, 16.设a+B+Y+8=2m,求证 cosa+cos B+coc4 cocoscos0 2 2 2 "17.设a+B+y=0,求证 2(sin a+sin B+sin y)(1+cosa+cos 8+cosy)=sin 2a+sin 28+sin 2y. 18.设A+B+C=匹，求证 sin 4.4+sin 4B+sin 40=-4 sin 2A.sin 2B.sin 20. 19.设A+R+0=,且2 in B in=2o2会，求证∠B=∠0. 20.设a+B+Y=元，且ina=cos B cos,求证gB+gy=1. ，175· ==========第184页========== 第五章斜三角形的解法 §5·1斜三角形解法的分类 在第一章中，我们研究了利用锐角的三角函数解直角三角形的问题.在实际问题中，我们有时也会遇到要解斜三角形（三个角都是锐角的三角形或者有一个角是钝角的三角形）的问题；就是，在斜三角形的六个元素（三个角和三条边）中，根据已经知道的三个元素（其中至少有一个元素是边），求出其他的三个元素. 解斜三角形的问题，只有下面四种类型： (1)已知两个角和一条边， (2)已知两条边和其中一条边所对的角， (3)已知两条边和它们所夹的角， (4)已知三条边. 为了研究解斜三角形这几种类型的问题，我们要在下面各节中导出在意三角形的边与角的三角函数间的关系 习题5·1 1.已知斜三角形的三个角，能解这个三角形吗？为什么？ 2.解直角三角形的四种类型能归并在解斜三角形的哪几种类型里？ ·.176◆ ==========第185页========== §5·2正弦定理 在平面儿何中知道，如果一个三角形的两笨边不等，那末它们所对的角也不等，大边所对的角较大.现在我们进一步来研究三角形的边长和它们所对的角的大小间究竟有怎样的关系 下面我们证明，在任意三角形ABG中， 0=sin A6sin B' 这里，a和b分别是∠A和∠B的对边. 我们可以按照∠A和∠B的大小，分成三种情形来证 明： (1)∠A和∠B都是锐角：在图51的三角形ABC中， 作CD⊥AB交AB于D.在 直角三角形ACD中， CD=bsin A; 在直角三角形BCD中， OD=asin B.因此，ainB=bsin A, D B 就是 a sinA 5.1sinB· 图 (2)∠A和∠B中有一个是直角：假定∠B是直角（图 52).在这种情形下， 名=s9inA, sin A sin AinB-sin90° =in41-sin A. 。177· ==========第186页========== 图5·2 图53 因此，我们也得到 asinA 方=sinB (3)∠A和∠B中有一个是钝角：假定∠B是饨角（图 53).作CD⊥AB,交AB的延长线于D.在直角三角形 ACD中， CD-bsinA; 在直角三角形BCD中， CD=asin(180-B)=asin B 因此，我们仍得到 asin B=bsin A, 就是 asin Asin万· 上面证明了在各种情况下，三角形两条边的比，都等于它 们所对的角的正弦的比.这样，在任意三角形ABC中，可以 知道 a sin A b sin Bb-sinB’c-sinG· 。178· ==========第187页========== 把这两个等式改写成 a b sin Asin B'sin B&nC· 我们就可以连起来写成 a sin A sin B sin C. 这个结论叫做正弦定理.它的每一个等式都表示三角形的两个角和它们的对边之间的关系.在这四个元素中，知道任意三个，就可以求出另一个未知的元素、 例在△ABC中，求证 A-B A-B a+8 C08 2 a--b sin 2 0 sin2 c08 [证]命sin 4 sin B"singh.atbksin Atk sin B sin A+gin B k sin O sin C sin A+sin B sin A+sin B sin[180°-(A+B)]sin(A+B) A十BA-B A-B 2sin 2 c0g2 28in 4+Bo+B 2cog 4+B2 A-B A-B A-B C09-2 c092 cos 2 、180°-0 Cos- 2 coe(80°-) sin 第二个等式可以类似地证明（证明留给读者）.这两个等 ·179· ==========第188页========== 式通常做模尔外得公式.由于它们都含有三角形的三个角利和三条边，在解斜三角形求出未知元素后，可以利用它们来进行验算 习题5·2 1.在△ABC中，如果sinA=sinB,A和B的关系怎样？为什么？ 2.在△ABC中，求证a=bsin A cosec B. 3.在△ABC中，sinA,sinB,sinC的任何一个值能为负数吗？为什么？ 4,在△ABC中，求证sin1+inB=+b sin C 5.在△ABC中，如果in2A+sinB=sin2C,那末这个三角形一定是直角三角形。 *6.在△ABC中，∠A的平分线交BC于D,试利用正弦定理求证 AB:AC=BD:DC. 7.在△ABC中，若B=2A,求证b-2aco3A. 8.在△4B0中，若B=雪，求证2法=sia(怎+C 9.在△ABC中，求证CAB）=- sin(A+B)-e2· §53已知两角和一边，解斜三角形 已知两个角和一条边，解斜三角形的问题（就是§6◆1中的第-一类问题)可以用正弦定理来解.”现在举例说明如下： 例1.在三角形ABC中，已知A=105°，B=60°，b=4,解这个三角形. [解]这里，已知的是两个角和其中一个角所对的边（图54). (1)C=180°-(A+.B)=180°-(105°+60°)=15°. ·180 ==========第189页========== (2②）由snA6nB,得 absin A=4sin105° sin B sin60°- 4×0.9659 0.8660 =4.462. (3)由。=b b4 sin OinB,得 c-bsin=4sin15° sin Bsirn6J° 105°60 4×0.2588=1.196. B 0.8660 图54 例2.在△AC中，已绑A=11°48'，C=3450',b= 13.02,解这个三角形. b=13.02 34°30' a 1148 y 图55 [解]这里，已知的是两个角和它们所夹的边（图5）. (1)B=180°-(A+C)=180°-(11°48'+3430) =133°42'. (2)由ab nA=sinB,得 6 sin A=13.02sin11°48=13.02×0.2046sin B sin13342 0.7230 2.6626 0.7230 =3.683, ◆181● ==========第190页========== (3)由 sinC8iB,得 C=bsin=13.02sin3430_13.02×0.5664 sin B 8in133°42 0.7230 7.3745 0.7230=10.20 从上面这两个例题可以知道，已知两角和一边（不论是其中一个已知角所对的边，或者是两个已知角所夹的边)，解这 个三角形时，都可以根据A+B+C=180°先求出第三个角， 然后应用正弦定理把其他两边求出来 例3.要测工广A和河对岸火车站B间的距离（图 66),在岸旁选择一点C,量得AC=100米，∠BAC=74°， ∠BCA=44°，求AB的长（精确到0.1米）. 图5.8 【解]∠ABC=180°-（∠BA0+∠BCA) =180°-(74°+44)=62°， 根据正弦定理，得 AB AC in∠BOAsin∠ABo3 ◆1824 ==========第191页========== ,AB=4Csin∠BC4=100sin44° 8in∠ABO sin62° =100×0.6947=9.47=78.7. 0.8829 0.8829 答：工厂与火车站间的距离约为78.7米。 习题53 1.解下列各三角形： (1)A=65°，B=40°，a=50; (2)B=100°10'，C=45°40'，c=3060; (3).A=50°，B=75°，c=60; (4)B=48°40'，C=6420',a=14.5. 2.在△ABC中，A:B:C=3:4:5,求a:b:c 3.三角形的两个内角为18°20'与1140'，最长的边为1m,求最短的边长（精确到0.0001m). 4,在△ABC中，A=17°48'，C=518,a=287,求∠B的平分线的长. 5.在△ABC中，B=2230,C=11230',求证BC的长为BC边 上的高的二倍. 6.两船相距1km,由各船测岸上一灯塔与他船所张的角各为5225'与759'，求灯塔与各船的距离（精确到0.001km). §5·4已知两边和其中一边的对角，解斜三角形在一个三角形中，已知两边和其中一边的对角，例如已知a,b和A,解这个三角形的问题（就是§51中的第二类问题)，也可以应用正弦定理来解决. 在研究解法以前，我们先讨论一下，当已知三角形的两边a,b和a边的对角A时，怎样画出△ABC。 ◆183· ==========第192页========== 4=b 4>b 0 () (iii) 图57 画一条直线AP(图57)，过点A画线段AC,使∠CAP 等于已知角A,并且使AC的长等于b.然后要在AP上找出另一个顶点B,使它和顶点C间的距离等于a.我们可以以C为圆心，a为半径，画弧.如果这条弧能够和AP相交， 就可以决定点B的位置. (①)设A是钝角，我们可能遇到下列三种情形： 1)当>b时，存在一个三角形适合于已知的条件[图 5.7(i)].. 2)当a=b时，适合于已知条件的三角形不存在[图57(ii)]. ·184· ==========第193页========== a=b a>h (ii) ab时，存在一个三角形适合于已知的条件[图58)]. 2)当a=b时，适合于已知条件的三角形不存在[图58()]. 3)当b时，存在一个三角形适合于已知的条件[图 5.9(i)]. 2)当a=b时，也存在一个三角形适合于已知的条件[图 (i) a>bsi A asbain 4 B (i) () absinA时，存在两个三角形AB0和 ABC适合于已知的条件，其中∠AB1C是锐角，∠AB,C是 钝角，并且两个角互为补角[图59()]. 4)当a90° A=90° A<90° a >b 解 一解 解 a学b 没有解 没有解 解 a>bsin A 两解 a90°，a<币，所以问题没有解. (2)这里，A<0°，a=b,所以问题有一解. ·187. ==========第196页========== (3)这里，A<90°，abinA,所以问题有两解. 已知a,b和A,解三角形的问题，如果有解，我们根据正 品aa,算出咖n&凸n4 弦定理一=b 当问题有一解 a 时，角B取锐角的值（在特殊情祝下也可能是直角）.当问题 有两解时，角B的一个值 是锐角，另一个值是它的 8x13.9 补角. b✉8.43 例2.在△ABC中， 126°43 已知a=13.9,b=8.43, A=126°43'，解这个三角 图510 形. [解]这里，A是钝角，a>b,所以问题有一个解（图 5.10). (1)由a b sin AsinB,得 sin B=o sin A8.43 sin 12643r G 13.9 =8.48×0.8016-6.767=0.4861, 13.9 13.9 ∴.B=0. ◆188· ==========第197页========== (2)0=180°-(A+B)=180°-(126°43+29°0)： =24°12. (3)由 sinO&inA,得 C、sinO_13.9sin24°1213.9×0.4099 sin A in126°43 0.8016 5.698 0.8016 =7.108. 例3.在△ABC中，已知a=16,b25,A=33°16，解这个三角形. 【解】这里，A是锐角，并且abimA,所以问题有两解（图511）. (1) sin A inB,得 sin B-6 sin A25 sin 3301526×0.5483 心 16 16 =13.71 16 =0.8568. 查正弦表，得 B1=58°57'， 0(C 6=25 6=16 8315 图511 ●18日· ==========第198页========== B2=180°-B1=180°-5857'=1213， (2)C1=180°-(A+B1)=180°-(33°15'+58°7) =8748. Ca=180°-(A+B2)=180°-(33°15'+1213)=25°42. (3)inC“in4得c-sinC 由=a sinA· G1=4sinC-16sin87°48'_16×0.9993 sin A sim33°15 0.5483. 15.99 0.5483 =29.16. ca=asinC=16sin2642-16×0.4337 sin A 8in33°16 0.5483 6.939=12.66. 0.5483 注意在A是锐角，abinA时，bsin A<1; 当a=bsin A时，binA-1;当a1.但 a bsin A=inB.因此，由inB<1,inB=1,sinB>1,可以决定 a>binA,a=bsin A或者aa, 因而 a1>a2, 就是 a3>63+c; 当角A变成锐角时[图5·12(ii)], 191 ==========第200页========== &:3n>0>. 5,两游艇自同地同时出发，一以每小时10.44km的速度向正北行驶，一以每小时7.71km的速度向北偏东45°的方向行驶；0分钟末两艇距离多远？ §5·7已知三边，用余弦定理解斜三角形 如果知道任意三角形的三条边，也可以用余弦定理来求 三个角（就是§51中的第四类问题）.因为从余弦定理的三 :4197· ==========第206页========== 个公式 a=62+c7-26cco8 A,b2=c2+a2-2ca co8 B,c=a2+62-2ab CosC, 可以分别得到 C0G4=b3+02-g2 2bc c08B=c2+a2-b2 2ca 0080=a2+b2-c2 2ab 现在举例说明如下： 例1.在△ABC中，已知a=32,万=40，c=66,解这个 三角形（图518）. b=0 4=32 c=68 图518 [解](1)c084=b+c2-a2 2bc 402+66-322 2×40×66 =1600+4366-1024 5280 4932 5280 =0.9341. 查余弦表，得 A=20°65， ·1800 ==========第207页========== (2) o8B=g+a2-b2-662+822-402 2ca 2×66×32 4356+1024-1600 4224 37800.8949 4224 查余弦表，得 B=26°30. 322+403-682(3) c08C=g2+62-c2= 2ab 2×32×40 =1024+1600-4366 2500 1732 2560 =-0.6766 查余弦表得c0s4725'=+0.6766.这里余弦的值等于 -0.6766,所以角C=180°-47°25'=18235. ,注意解已知三边的三角形，用余弦定理求得一个角以后，第二个 角也可以应用正弦定理来求。比方说，在上面的例题中，求得角A的值 以后，可以根据B=bn4来求角B.(请读者计算一下，看和上面的结果是不是相同.)但采用这个方法时，所选的第二个角应该是锐角，也就是对着较短的边的一个角. 另外；求得两个角以后，当然可以根据A+B+C=180°来求第三 个角.不过为了便于验算，我们通常总是独立地求出三个角，而利用 三角形内角和的性质来进行验算.例如，在这里，我们得到2056+26°30'+13235=180°，可以知道计算没有错误.有时尽管没有算饿，但求得的三个角的和可能稍稍比180°大几分或者小几分.这是因为 三角函数表所载的都是函数的近似值；根据它们求得的结果总不免有 一些误差的缘故.遇到这样的情形，我们可以把相差的几分适当地分配在三个角的值上，修正我们所得到的答来。， ◆190◆ ==========第208页========== 例2.长17米的梯子，靠在斜壁上，梯脚与壁基相距7米，梯须在沿着壁向上15米的地方，求壁面和地面所成的角 a。 图5.19 [解]如图6.19，B0=17,CA=7,AB=15. 由 BC2-AB2+A02-2AB.AC cosa, 得 C0Sa=AB2+A09-BC9152+73-172 2AB.AC 2×16×7 225+49-289=-16 210 =-0.0714. 210 查表得 c0385°54=十0.0714， .a=180°-8554'=94°6， 答：壁面和地面所成的角约为94°， 习题5·7 1.解下列各三角形，已知 (1)a=2,b=√6，c=W√3+1； (2)a=2000,b-1050,c=1150. 2.三角形的三边为m,》,√m+mn+,求最大的角。 3.三角形的三边为56,65,33，求最大的角. 4.三角形的三边为7,4√3，√3，求最小的角. .200 ==========第209页========== 5.三角形三边的比为2：3：4，求最大的角. 6.在△ABC中，已知C=60°，求证 3 之c+b+ea+b4d、 7.一平行四边形的两边各为52.1cm与68.5cm,较短的对角线为31.6cm.求较长的对角线的长（精确到0.01cm). 8.已知梯形的两底为10,14，两腰是7,6；求这梯形的各个角. 本章提要 1.三角形的各元素间的关系 (1)正弦定理-ab in A-sinB8inC· (2)余弦定理：a2=b2+c2-2bcc0sA. A一B 4-B (3)模尔外得公式：4+bcos2 a-b sin 2 n豆 Cos (4)射影定理：c=a cos B+b cosA. 2.斜三角形的解法 已知条件 解 法 1.利用A+B+C=180°，求C; 两角和一边（例如A,B,c)· 2.应用正弦定理求a,b. 1,应用正弦定理求B; 两边和其中一边的对角（例如 2.利用A+B+C=180°，求C; a,b,A) 3、应用正弦定理求c. 1、应用余弦定理求c; 两边和i央角（例如a,b,C) 2.应用正弦定理求短边所对的角； 3.利用A+B+G=180°，求另一角： 三边(a,b,c) 应用余弦定理求A,B,C, ·201· ==========第210页========== 复习题五 1,解下列各三角形，已知 (1)A=54°28，C=60°，a=400; (2)4=32.16,c=27.08,C=52°24'； (3)a=55.55,c=66.66,G=77°42'； (4)%=8.656,c=10,A=5957; (5)b=3069,c=1223,C=5552'. 2.在AABc中，如果心=日-nC,那夫△ABC是正 三角形. 3.已知B=30°，c=150,b=50V3.求证满足这条件的三角形有两个，一个是等腰三角形，另一个是直角三角形 4.在△ABC中，求证(a-bPos号+(a+in号-2. 5.三角形三内角的比是5：10：21，段小角所对的边是3cm,求最长的边长（精确到0.001cm). 6.设塔P?,Q为塔基，由地上的一点A测得塔顶的仰角为a,由.A 向Q前进距离a至B,魂得塔顶的仰角为B,求证塔高c=asinasinB sin(B-a) 7.有两点P,不能直接到达，在同一平面上找适当的A,B两 点，测得AB=a.在A处测得·∠P1B=a,∠QAB=B;在B处测得 ∠PBA=Y,∠PBA=δ；怎样算出PQ的长？ (第7题) ·202· ==========第211页========== "8.平地上一线段的长为2a,由它的两端测得一屋顶的仰角为0，由线致的中点测得屋顶的仰角为中，求证屋项的高为 a sin 0sin中 Vsin(+b)sin(ø-6)・+ 9.一梯靠于墙上与地面成75°角，上端离地面27m,将梯足囿定，转动.上部，靠在街的另一旁墙上，这时梯与地面成15°角，求街阔和梯长 10.在△ABC中，求证 a2-2 ab cos(60°+C)=c2-2 bc cos(60°+A). 11.若已知a,b与A的三角形有两个解，求证 {c1-cg-2√a2-bgA. 12.两只船同时由同一海港出发，它们的速串为每小时20m和、15m;如果两船的航线是相交成30°角的直线，4小时以后它1相距几公里？ “13.自通过城门的直街道上一点A测得城楼ED的仰角为c,楼上直立一旗杆DC的视角为B(∠CAD),向城门走近距离a,测得旗杆的 视角仍为B.求旗杆的长 [提示：因为∠CAD=∠CBD=B,所以可知A,B,D,C四点共 圆.] (第13题) 4208● ==========第212页========== 第六章利用对数解三角形 §6·1三角函数对数表 通过前一阶设的学习，我们已经学会了根据已知的条件来解直角 三衡形和斜三角形；但在解题的过程中，往往要进行十分繁琐的运算，不仅要花费很多时间，而且容易产生错误.为了简化计算手续，我们可以利用对数. 利用对数解三角形，除掉要用到代数中关于对数的知识以外，我们还要学会怎样求已知角的三角函数的对数，以及反过来怎样从已知的 三角函数的对数值，求出这个角. 1。求已知角的三角函数的对数 求已知角的三角函数的对数，可以先由三角函数表查得这个已知角的三角函数，再由对数表求它的对数.例知，求g$i山38°41'，可以先由二角函数表求得 8in38°41'=0.6250， 再由对数表求得 1g0.6250=1.7959, 由此可知 1g8in38°41'm1.7959 上面的方法需要查两次表，为了简化查表的手续，我们可以利用“三角函数对数表”，这样就可以直接查得已知角的三角函数的对数了. 在“四位数学用表”内的第III表到第VII表中，可以查得每相差 1'的各锐角的正弦，余弦，正切和余切的对数（精确到小数第四位），现在举例来说明它们的查法例1.求lg8in49°54的值. 【解】在四位数学用表表IV中，左上角标有A的直行中查得 ·2040 ==========第213页========== 49°，然后横着向右查到顶上标有54'的一行处得1.8836（在表中1省略了).所以 lg8in49°64=ǐ.8836 例2.求1gcos7631的值. 【解】在四位数学用表表II中右下角标有A的直行中向上查得 76°30'，横着向左查到底下标有4'的一行处得1.3661.所以 gc0s76°34=1.3661， 例3.求gcos34°28的值. 【解]在四位数学用表表IV中右下方标有A的喜行中向上查得 34°，横着向左查到底下标有30'的一行处得1.9160，再横着向右查到表的末三行中标有2'的一行处得2，这就是0.0002.然后把这个数加到1.9160上去.所以Ig cos:3428'=T.9160+0.0002=I.9162(注意，锐角的余弦和它的对数都随着角的增大而减小). 例4.求gg8217'的值. [解】在四位数学用表表VII中左上角标有A的直行中查得 8210',再横着向右查到顶上标有7'的一行处得0.8681.所以1gtg8217'=0.8681, 例5.求Ig ctg5551'的值. [解]在四位数学用表表VI中右下方标有A的直行中向上查得 55°，再横着向左查到对准下面标有48'的一行处得T.8323.然后又横 着向右查到表的末三行中标有3'的一行处得8，这就是0.0008.再从 1.8323减去0.0008.所以1gctg55°51：=1.8323-0.0008-1.8315（注意，锐角的余切和它的对数都随着角的增大而减小) 2,已知一个角的三角函数的对数，求这个角 知果已知一个锐角的正弦，余弦，正切或者余切的对数，我们也可以从这些表中查得这个锐角精确到1'的近似值.举例如下：例6.已知ginA=I.4508,求锐角A. 【解】在四位数学用表表IV中，查得I.4508.横着向左查到顶 上标有A的直行中为16；然后再看I.4508的直行顶上对准的是24. 所以A=1624'. 例7.已知gco8A=2.8321,求锐角A. "205· ==========第214页========== 【解]`在四位数学用表表I1正中，查得与2.8321最接近的数是 2.8326.横着向右看下面标有A的直行中为86°00'；然后再看2.8326 的直行底下对准的是6.所以得到A的精确到1'的近似值是866， 例8.已知ggA=0.3260,求锐角A. 【解】在四位数学用表表V1中，查得与0,3260最接近的数是 0.3254.横着向左查到上面标有A的直行中为64°；然后再看0.3254 的直行顶上对准的是42.但0.3260比0.3254大0.0006.于是再从 0.3254横着向右查到末三行中与6较接近的7上面对准的是2.由于 锐角的正切和它的对数都是陆着角的增大而增大的，所以A=64°42+ 2'=64°44， 例9.已知1 g ctg A=1.8205,求锐角4. 【解】在四位数学用表表VI中，查得与I.8205最接近的数是 I.8208.横着向右查到底下标有A的直行中为56°，然后再看I.8208 的直行下面对准的是30'。但1.8208比I.8205大0.0003.于是再从 1.8208横着向右看到末三行中的3底下对准的是1'.由于锐角的余切 和它的对数都是随着角的增大而减小的，所以A=5630+1'=5631'. 例10.求适合于等式ginx=I.9289的一切角x. 【解1查表得到适合于等式ginx=I.9289的锐角x为586，可见180°一586'=12154也适合这个等式.所以适合这个等式的一切角x是n.360°+586和n360°+12154， 习“题61 1.查表求下列各三角函数的对数的值： (1)gin-6150'; (2)gin6720; (3)1gcos6610; (4)lgc0889°23； (5)gg3550'; (6)1gtg8838; (7)gctg4759'; (8)lgct81121'. 2.查表求下列各式中的锐角： (1)gina=1.4321; (2)lg sina=2.9960; (3)gco8a=2.9301; (4)lg cosa=1.8839; ·208 ==========第215页========== (5)1gtga=2.0311; (6)lgga=2.0311; (7)Ig ctga=I.5018; (8)g ctg a=0.7865。' 3,求适合于下列条件的角A: (1)lgsin29=I.6004(0<9<90); (2②)g0s号-1.7031(0<0<180)5 (3)lgtg39=0.1184(0<8<90)i ④gg兽-1.020(0<0<360). 4.求适合等式gc0s龙=1.5555的一切角x。· 5.求适合等式1gctg2x=0.8254的一切角x。 §6·2利用三角函数对数表进行计算上一节里，我们学习了利用三角函数对数表来求已知角的三角函数的对数，和从三角函数的对数来求锐角的方法.现在我们就利用三角函数对数表对含有三角函数的式子进行计舞。举例说明如下：例1.利用对数计算x的值： sin4755'+co83817c0s26°25-C0333°47· 【解】应用三角函数的和化为积的公式，得到 in4755'+cos38°17'=in4755+8in51°43 =28in49°49'cos154, co826°25-c0s33°47'=2n30°6in3°41'； :r=8in4949c08154 in30068in3°41， 两边取对数，并且根据对数运算法则，得 Ig c=lg sin 4949 +Ig cos 154-(lg sin 306+lg in 341'), gsin40°49=I,8831 Ig cos1°54'=I.9998(牛 1.8829 ·207● ==========第216页========== g8in306'=J.7003 g6in3°41'=2.8078 (+ 2.5081 1.8829 2.6081 (一 1gx=1.3748 .x=23.70 例2.利用对数计算x的值： x=31.98(g4842-tg7328). 【解】应用三角函数的和化为积的公式，得到 tg48°42-g7328'=in48°42'sin7328 c084842c0s7328 sin24°46 cos48°42c0s7328; ∴。=ー31.988in24°46 c0s48°42c0s7328◆ 两边取对数，并且根据对数运算法则，得 g(-x)=lg31.98+gin24°46 -(1gco848°42+gco37328).11g31.98=1.5049 1gin24°46'=T.6221 1.1270(十 1gco848°42=I.81951gcos73°28=I.4542(+ I.2737 1.1270 1.2737 1g(-x)x1.8533(… -第=71.34， ..x=-71.34 通过上面的例子可以看出，利用对数计算的步骤是： ·208 ==========第217页========== (1)化成适于对数计算的形式；(②)取对数，并展开成横式； (3)列出计算的格式，并把等号对齐； (4)将查表所得的值写在等号的右边，并对齐小数位量；(⑤)最后进行计算. 习题62 1.利用对数计算，求适合等式x8in72°26'=123.45in22°27的的值 2.利用对数计算x=(Cos7355'+c0s42°11')2，3,利用对数计算x=(ctg7120'-ctg5110')8. 4.利用对数计算，求适合等式38=26958in27o29 sin x的锐角：。 5.利用对数计算，求适合等式2sin3x=sin6840'的锐角：. 6.利用对数计算，求适合等式tg父=√4.2g47°13 c0s1733 的锐角x 7.利用对数计算，求适合等式x2in63°45=√②ictg3938'的正数， 8.利用对数计算，求适合等式龙=V21.72c0s1221可的x. 3/sin 0 cos 30 9.利用对数计算，求√22站的值，其中6=3818,0一 0.0421. §63利用对数解直角三角形 在§18中，我们已经学会了根据已知条件来解直角三角形.现在利用对数计算来解，我们看下面的例题： 例1.在直角三角形ABC中，已知A=6323,c=39.41,解这个 三角形. 【解1 B=90°-6323'=26°37.. a=c8in4=39.41sin63°23'， ·209·· ==========第218页========== lga=lg 39.41+lg sin 63231g39.41=1.5956 gin6323'=1.9513 (+ 1ga=1.5469 .4=35.23b=cc0sA=39.41cos6323',1gb=g39.41+1gc0s63°23'.1g39.41=1.5956 1gcos63°23'=I.6513 1gb=1.2469（+ .b=17.66 例2.一人在距塔基50.68m处测得塔顶的仰角是1436'，求塔高 1436 -50.68m 图61 [解】设塔高BC为x(图6,1)， gA心 ·AG =AC.tgA=50.68tg 1436gx=g50.68+gg1436'. 1g50.68=1.7049 gg1436'=I.4158 ( 1gx=1.1207 ∴.花=13.20 答：塔高13.20m. 例3.圆内一弦的长是18.32c,中心到这弦的距离是9.003cm, •210● ==========第219页========== 求这弦所对的中心角和这圆的半径.解】在图62中，AD-专AB-9.16m, 0D=9.003cm,. 0 设AO=x;又设∠AOB=日.于是 9.003om ∠A0D-2. 18.398m g号-品= 9.003 162 16g=1g9.16-lg9.003. g9.16=0.9619 g9.003=0.9543 6 ( gg名=0.0076 日=4530， 2 .0=91°. xe、AD 9.16 i如8n45°30。 2 1gx=lg9.16-gin4530, g9.16=0.9619 1gin4530'=1.8532 gx=1.1087 .=12.84. 答：弦所对的中心角是91°，圆的半径是12.84cm. 在利用对数解直角三角形时，如果是已知两边，可先求出一个锐角，然后再求第三边；我们避免直接用公式 c=√a2+b2和4=√-b 去求，因为这两个式子不适于直接取对数计算。 ●211● ==========第220页========== 习题6·3 利用对数计算，解下列各题： 1.在直角三角形ABC中，已A=6710',c=402,解这个三角形. 2.在直角三角形ABC中，已知B=4619',b=0.6241,解这个三角形. 3.在直角三角形ABC中，已知B=2134,4=0.8211,解这个三 角形. 4.在直角三角形ABC中，已知b=67.23,c=92.51,解这个三角形 5.在直角三角形ABC中，已知a=4.261,b=10.43,解这个三角形. 6.河岸上一岩，高出水平面13.2m,从直对这岩的对岸一点，测得岩顶的仰角为1436.求河宽. 7.圆的半径为10cm,圆心角7718所对的弦长多少？ 8,一车以每小时30km的速度，向上行驶于与水平面成10°的角的斜坡上，这车行驶到距水平面41m的高度，需时多少？ §6·4已知两角和一边，利用对数解斜三角形 已知两角和一边，第三个角是很容易求得的.其余两边可通过正弦定理再利用对数计算出来。现在举例说明如下： 例1.在△ABC中，已知b=5685,B=48°38，C=8316,解这个三角形 【解1·A=180°-(B+C) =10°-(48°38+8316) =48°6 a=bsin A5685 gin 486 sin B sin48°38一 g4=lg5685+gin486'-gin4838', ·2120 ==========第221页========== 1g5685=3.7547 g8in486=1.8718(+ 3.6265 g8in4838'=I.8753 1ga=3.7512(、 ∴.a=5639 binC5685in83°16' Csin B 8in48°38。 1gc=g5685+lgin8316'-gin4838, 1g5685=3.7547 gin8316'-I.9970 3.7517(+ 1g8in4838'=1.8753: gc=3.8764（- .∴.c=7523 例2.一船在0点，可由岸上A与B两点望见（图63）.今测得 AB=96.13m,∠CAB=67°43'，∠CBA= 7421',求点A到船C的距离. 【解】设AC=x. G=180°-（∠CAB+∠CBA) =180°-(67°43'+7421)=37°56， x=ABsin∠ABC in∠ACB 96.138in74°21' 81n37o56● 人6749 7421 gc=lg96.13+gin7421'-gin3756, 98,13m 图63 g96.13=1.9828 gsin7421'=I.9836 1.9664 :gin3756'=I.7887 g花=2.1777 23 ==========第222页========== .g=150.5 答：点A到船的距离是150.5m。 习题64 利用对数计算，解下列各题： 1.在△ABC中，已知a=795,A=7959,B=44°41'.解这个三角形。 2.在△ABC中，已知c=2071,A=31°9，B=11524.解这个三角形。 3,平行四边形对角线的长为60cm,它和两边所成的角为4714和18°53.求这平行四边形两边的长（精确到0.1cm). 4.平面上相距5m处，有两人相向观测在同一个铅直面内的气球，得仰角各为55°和58°，求气球与这两人的距离. 5.某人在点A处测得塔顶的仰角为3214，向塔前进50m到B处，测得仰角为6326，求塔高. 6.一个三角形的三个内角成3：4：6的比，它的最长的边为42cm,求它的最短边 §65·已知两边和一边的对角， 利用对数解斜三角形 根据g5·4中的讨论，我们着到，已知a,b和A,要解三角形ABC时，若A是钝角或者直角，那末只有当a>b时有一解，a=b或者ab或者a=b时有一解.对于41来决定问题有两解，一解或者没有解.但当inB<1时，lg sin B<0;当inB=1时，lgsinB=0;当inB>1时，ginB>0。由此可知，利用对数计算，可以根据•2140 ==========第223页========== g sin B<0,ginB=0或者Igsin B>0来决定问题有两解，一解哦者没有解。 例1.在△ABC中，已知a=62.24,b=74.83,A=2718.解这个三角形 【解]这里A是锐角，并且a0,所以这个问题没有解. 例3.由B到A不能走过，但能望见；若由B到另一点C的距离 为145.3m,由C到4的距离为178.2m,并测得∠CBA=4110',求 A与B间的距离（图64）。 145.3m 178.2m 人4110 B 图84 解]设AB为x., sin 4=BC sin CB,所以这题只有一解。查表得 A=32°28， 。.218 ==========第225页========== C=180°-(A+B)=180°-(3228+4110)=10622. BC sin C145.3 gin 10622 sin A 8in82°287 1gx=g145.3+lg sin10622-g6in32°28. 查表计算后，得 gx=2.4146, ,.x=259.8 答：由A到B的距离是259.8m. 注意，在例1和例3中的gin11914'和gin10622,不能从表中直接查得，必须化gin11914=lgin(180°-60°46)=gin60°46'和lgin106°22'=gin7338,再查表. 习题.65 利用对数计算，解下列各题： 1.在△ABC中，已知a=6.061,b=7.083,A=4725.解这个 三角形. 2.在△ABC中，已知a=0,1234,b=0.1412,B=388,解这个 三角形. 3.在△AbC中，已知a=72.63,b=117.48,A=80°.解这个三角形. 4.在△ABC中，已知a=8.656,c=10,A=5957.解这个三角形。 5.平行四边形一边的长70cm,一条对角线的长126cm,两对角线间的夹角为2137，求另一条对角线的长. 6.圆外一点P到圆的中心O的距离为c0.5cm,从P作一与OP成18°42角的割线，设圆的半径为24.2cm,求自P点至此割线与國相交的较近点的距离。 §66正切定理 我们已经看到，有了正弦定理和余弦定理，$51中的所有四类解 ·老行 ==========第226页========== 斜三角形的问题都得到了解决.但是，用余弦定理解已知两边和它们的夹角或者已知三边的三角形，对于对数计算是不顶合适的.这一节中我们要介绍正切定理，它可用来代替余弦定理解已知两边和夹角的 三角形. 在正弦定理的公式 b sin A sin B 中，用飞表示两个相等的比，就是 a b sin A sin B=k。 那末 a=ksin A,b=ksin B. 因此， dtke gin +k sin B sin A+sin Ba-bkin在-k sin B-sinA-snB· 利用三角函数的和化为积的公式，变换分子和分母，得 2 sin A+B A-Ba+b 2c0s、2 a-b C08a手an4二互=g4g分32 2 2 4+B tg4-B. 2 4+B a+6 tg- 所以 2 a-b g且B. 2 这样，我们证明了三角形任意两边的和与差的比，等于它们所对角 的和的一半的正切与差的一半的正切的比.因此，在任意三角形ABC 中，我们可以写出六个联系任何两边与它们的对角的关系式： ig 4+8 B+A a+b 2 btatg a-b g8; bーa 2 tg B4i 2 0218· ==========第227页========== g8±c C+B b+c 2 b-c B-C; c+b tg c-b t招C-B C+A c+a tg 2 a+c 铝4+C2 c-4 C-A a-c gA一C◆ 这个结论叫做正切定理、 习题66 1.已知a=2b,C=120°，求A及B. 公.三角形的两边是9与3，这两边对角的差是90°，求这两个角。 3.在三角形ABC中，已知g会-名，g受=器.、B20 (四求g日的值； *证-7. §6·7已知两边和它们的夹角， 利用对数解斜三角形 已知两边和它们的夹角，解斜三角形，为了取对数来计算，我们可以应用正切定理。举例如下： 例1.在△ABC中，已知a=77.99,b=83.39,C=7216。解这个三角形. 【解1(1)b+a=83.39+77.99=161.38, b-a=83.39-77.99=5.40, B+4=180°-C=180°-7216=5352. 2 2 2 gB,A-6&gB4=5:0 2 b+a 216i.3对g5352. 1ggB,4=lg5.40+1gg5352-lg161.38. 2 ·218% ==========第228页========== 查表计算后，得 1gtgB42.6612, 2 壹(B-A)-233. B=B+A+B-4=53052'+2938=56°30； 2 2 4=8+4-B。4=5352-2°38=5114. 2 2 c=ainC-77.998in7216' (2) sin A 8in5114W Igc=lg 77.99+1g sin 7216'-1g sin 5114, 查表计算后，得 gc=1.8789, .c=95.24. 注意，在这个例题中，解的步骤是 y (1)由 g克(B+A) b-ag(8-0求g哥（巴-4）的值，这里 号(B+4)=号(180°-0. 查表得到(8-A)的值。然后由 （в+A）+(B-4)-В， 글(B+A)-号(B-4)-A, 求角B和角A的值. (②)利用正弦定理品C4(也可以用ic品 求未 知的一边c. 例2.一点距岛的一端为3m,距他端为6,933女m,从这点观测这岛的两端所张的角为3356.求这岛的长. 【解1如图6.5，AC=6.933km,BC=3km,C=3356.设岛长AB=x、 0.220·. ==========第229页========== 6.933km 3k0 图65 (1)AC+BC=9.933km,AC-BC=3.933km, B+4=180°-C=732. 2 2 teB4=8933g73°2. 29.933 1ggB24=lg393+1gg732-e9.693. 查表计算后，得 gg9g=0.138, ：8=52283. .4=B+A-B与4=732-52°28=2030. 2 2 (2)BC gin C3 sin 33056 sin d 81n2039T· Ig x=1g 3+lg sin 3356-lg sin 2039 查表计算后，得 1gx=0.6566, ∴。G=4.535. 答：这岛的长是4.535km, 习题67 利用对数计算，解下列各题： 1.在△ABC中，已知a=597.3,c=702.4,B=39°42.解这个 三角形。 ●221● ==========第230页========== 2.在△ABC中，已知a=88.79,b=15.13,C=79°13.解这个 三角形. 3.平行四边形的边长各为344.86cm与202.62cm,一个内角为6116.求它的两条对角线的长. 4.平行四边形的边长各为23.4cm和41cm,一个内角为3518.求较长的对角线的长（精确到0.1cm). 5,两个物体从某一点起作直线匀速运动.它们的速度分别是每秒15.6cm和24.9cn.如果它们的运动方向所夹的角是34°20'，它们在10秒后相距多远（精确到0.1cm)? 6.在△ABC中，已AB=19.32cm,AC=23.57cm,A=5219. 求AB边上中线的长. §68半角定理 在&6,6中，我们提出正切定理来代替余弦定理解已知两边和夹角的三角形。现在我们再提出半角定理来代替余弦定理解已知三边的三角形. 在△ABC中，由半角的正切公式，知道 /1-cos A 这里，因为角A是三角形的一个内角，它的一半一定是锐角，所以我们 在根号前取正号由余弦定理 a2=62+c2--26c Co84, 得 08A=b2+c2-a2 2bc 我们来计算1-008A和1+co8A: 1-0o84=1-b+c2-42 2bc -2bc-b3-c2+a2=a2-(-2bc+c 2be ·2bc =2-(b-c)2=a+b-ca-b+c2; 26c 2ba ·222· ==========第231页========== 1+084=1++2-a2=2bc+B+c2-0 2bc 2bc =(+26c+c2)-a=(6+c)2-a 2bc 2bc =(b+c+a)(6+c-a) 2bc 如果设 a+b+C=28, 那末在这个等式的两边都减去2，可以得到 -a+b+c=2(s-a). 同样，在a+b+c=2s的两边都减去2b或者2c,可以得到 a-6+c=2(s-6); a+b-c=2(3-c). 因此，上面的结果可以写成 1-084=2(9-c):2(8-b）=2(9-b1(9-c; 26c (1) bc 1+c0s4=29·2(s-a）=2s(8-a） 2tc bc (2) 把它们代入半角的正切公式，得 2(s-b)(8-c) bc tg 28(s-a) bc g会-√bs-gA 8($-a) (3) 同样可以知道 tg B 入/9c)(sa (4) 3(3-b) C g=V8-a)(s-b) (5) 8(8-C) 这里，9=号a+b+e). 这三个公式叫做半角定理. 为了把上面的公式化成容易记忆的形式，我们把公式(3)根号中的分子和分母都乘以3一4，得到 ·223· ==========第232页========== -/3-a)(8-b)(8= s(8-4)2 ,/3-a)(3-b)(s-c) s-av 用同样的方法，可以把公式(4)和(5)分别写成 ,/3-4)(8-b)(3-c2: /($-a)(3-b)(8-c) 5 例1.在△ABC中，求证 sin 3(8-; bc bc 这壁，8=(q-+0+o). 【证】因为sin多-√ /1-c03A 2 由上面的(1)， 1-c0s4=2(s-b)(s-c) be 2(8-b)(8-C) 所以，如子V bc (8-b)(s-c) 2 bo 第二个等武留给读者自己证明. 例2.在△ABC中，求证 inA=是√39-9-b8-, 这里，9=a+b+o). 【证】由例1， sin交f3=b)8-o; be C03 3(3-a) ·224· ==========第233页========== 因此，mA=2m会as营-2√s-0-=a.Vg西 be bc =2√/s-o(80g=9 b 2√s(g-a(s-b)-0. = 习题68 1.在△AB0中，求证g号号- 2.在△A6C中，求证(a+b+e(g号+g)=2g分， 8.在△48c中，已知a+c=2驰，求证cg登+gC=2 ctgB 4. 在ABC,求证b용+er~s 5.在△4B0中，求证inB=2Vs9=49-)(9-⊙. ac 6.在△AB0中，求证1-g会8号=号.tg= 7.在△ABC中，求证 icn会+oain号+a的in'号-ie+a+o6-只.2 B 8.在△ABC中，求证aCosCOs与cosee §69已知三边，利用对数解斜三角形已知三边，解斜三角形，为了取对数来计算，我们可以应用半角定理，举例如下： 例1.在△ABC中，已知g=513.4,b=726.8,c=931.3.求4， B和C。 ◆225· ==========第234页========== 8=号(a+b+c)=1085.8,9-a=572.4,9-b=359, 【解】 9-c=154.5, 1)令=/9-a8-b3--√572.4x359x1545 1085.8 2lgr=g572.4+lg359+lg154.5-g1085.8. 查表计算后，得 2g￥=4.4660， g7=2.2330, A=” (2)g立 9-a=572.4· 个y igtgA=lg*-g572.4. 1gr÷2.2330 g572.4=2.7577 gg雪4-1.470( 号A-1608, .A=3316. B=・ 裙 gg号B=gr-le39. 查表计算后，得 lgg合8=I.679, 是日-2528， ..B=5056 C=180°-(A+B)=180°-(3316'+0°56)=95°48. 例2.一个三角形的边长分别是1.68m,2.04m与2.91m,求它的最小角. 【解】设a=1.68m,b=2.04m和c=2.91m;显然最小角就是 A. ·226· ==========第235页========== g=号a+b+e)=1.63+3.04+8.91）3.35, 8-a=1.635,8-b=1.275,8-c=0.405. 号-89-需.8(8-a) 21gg会=(g1.275+1g0.405)-(g3.315+1g1.635).查表计算后，得 21gg号-29791， 4=I.4896, gg 스=179'， 2 .A=3418 注意，因为所求的角只有一个，我们用公式 含-Vc=s(3-a) 如果用公式 (s-a)(s-b)(s-c) 计算就比较麻烦一些. 习题69 利用对数计算，解下列各题： 1.在△ABC中，已知a=3019,b=6731,c=4228.解这个三角形. 2在△ABC中，已知a=7.440,b=9.063,c=6.181.求A,B, C, 3.平行四边形的两边各为52.1cm与68.5cm,较短的对角线是316cm,求较长的对角线的长. 4.观看7长的物体，眼睛和这物体的两端距离是5m和8m,求这物体的视角（就是这两条视线间的夹角） 5.三角形的三边分别是242,188和270、求最大的内角. ·227● ==========第236页========== §610三角形的面积 应用三角形边角关系的定理，不仅可以根据三角形的已知元素，求出未知的边和角，还可以计算三角形的面积，外接圆半径，内切圆半径等。这一节我们先来研究三角形的面积的求法， 在三角形中，如果 (1)已知两条边和它们的夹角， (2)已知两个角和任意一条边， (3)已知三条边， 我们可以求出三角形的面积4.现在来推导这些公式。、1。已知两条边和它们的夹角 假定已知两边b,c和它们的夹角A.我们按照∠A的大小分成下面三种情形来推导. (1)∠A是锐角.作高CD(图66)，那末 4=亨cGD. 但 CD=bsin A, 4csin4, 图66 87 (2)∠A是直角.在图67中， A= ·◆.228、 ==========第237页========== 因为 毫einA-号c咖9o°=号0， 所以我们也可以写做 1bcgin A.2 (3)∠A是钝角.作高CD,交c边的延长线于D(图6.8)。那末 d-c.CD. 但 CD=bsin(180-A)=6gin A, 4=1bcgin A. 图 6.8 因此，不论∠A是怎样的角，都有 4=音beaia d,. 同样可以证明 1亨casin B,4s1F交ab sin C. 2。已知两个角和任意一条边 如果已经知道三角形的两个角，那末第三个角也就可以求出.因此，我们只要导出已知三个角和一条边，求三角形的面积的公式就可以了. 由正弦定理 9 anC=ainAt e22日. ==========第238页========== 得 c=asing 8inA· 代入公式 4=1acsin B, 得 a.asiniBasin Binc1 sin A 2 sin4 就是 =a'sin Bsinc 2sinA 同样可以知道 A=b2sin Csin A 2sin B 4=csin Asin B 2sinC 作为一个特例，如果知道两个角A,B和它们的夹边c,那末，由于inC=in[180°一(A+B)]=in(A+B),最后一个公式可以写做 =c"sin A sin B2in(A+B)· 3。已知三条边 在868的例2中，我们已经证明 1=是Vs(9-a(g-(g- 这里 9=a+b+e. 把这个结果代入公式-=号ci血4， 得 c.2√33-as-b(s-0 就是 4=Ws(3-a)(s-b)(s-c). 这个公式最早出现在希腊数学家梅伦（约纪元前三世纪到二世纪）所著的书中，所以通常把它叫做海伦公式.平面几何学中也可以证明这个公式.但这里的推导过程比较简便。 三角形的面积公式除了上面所得到的以外，我们还可以导出三角形的面积和边，角的其他关系式。 ◆230◆ ==========第239页========== 例求证三角形ABC的面积是 4=9g号铭骨 这里 g=2a+b+o. 【证】由半角定理，知道 =13-b)g-o; 2 s(3-a) 号-√o2a,3(s-b) te号-√/으-명s(S-C) :9g会g号 =92J - ( -02. -으)。√ s-(- 8(8=4) 3(8-b) 3($-c) =g2√8-8=6)(9-e s3 -V(s-a)(s-b)(3-0) =√3(8-a)(s-b)(3-c)=4, 这个公式含有三角形的六个元素。我们很少用它来计算三角形的面积.但是在解三角形求出未知元素以后，如果再求出它的面积，那末，就可以代入这个公式来验算答案是否准确. 习题610 1.在△ABC中，已知b=116.1,c=100.0,A=11816.求它的面积.· 2.在△ABC中，已知a=18.06,B=35°，C=4830.求它的面积。 3.‘在△ABC中，已知b=62.83cm,B=2819',C=181'.求它 ◆281◆ ==========第240页========== 的面积. 4.在△ABC中，已知b=28.51m,c=40.23m,C=7745.求它的面积. 5.在△ABC中，已知a=23.1cm,b=19.7cm,c=25.2cm.求它的面积. 6.求证任意四边形的面积，等于两对角线与其夹角正弦的乘积的 一半 7.求证△4BC的面积4=s(s一a)g号， 8。设三角形的三边为号+兰号+呈，是+号求证它的面飘 /+丝+ §611三角形的外接圆的半径 设△ABC的外接圆的半径是R,我们来推导R和三角形的边，角 的关系。按照角A的大小，可以分成下面三种情形来研究： (1)∠A是锐角：作外接圆的直径CD,并且连结BD(图69). 在直角三角形BCD中， BC=CDsin D, 就是 a=2Rsin D. 但 ∠D=∠A, .'a=2RsinA, B (2)∠A是直角：.在图6.10中，因为 ∠A是直角，所以BC是圆O的直径.因此， 图69 a=2R=2Rin90°=2RinA, (3)∠A是钝角：作外接圆的直径CD,并且连结BD(图6.11)， 在直角三角形BCD中， BC=CDsin D, 就是 a=2Rsin D. 232· ==========第241页========== 610 因.61 但 ∠D=180°-∠A, .'sin D=sin(180-A)=sin A, .a=2Rsin A. 以上我们对于各种情形证明了 a=2Rsin A, 因此 . R=2ina· 同样可以知道 b R=急inBR=多inC· 从上面推证出来的结果，还可以看到 b sinAainBinR. 这就是说，三角形的各边和它的对角的正弦的比都等于外接圆的直径实际上，我们在这里用另一种方法证明了正弦定理. 例·在△ABC中，求证 R=abc 46· abc abc- 【证】 adc· =2inA-2 be sin A=4×号bcin44人· 习题611 1.设是△ABC外接圆的半径，求证a=2R2(1一co32A). ◆288◆： ==========第242页========== 2.求证=2 R?gin A sin B sin C. 8.求证a+b+6=8Roa会s号as会 4.三角形三边的长为21.2cm,32.3cm与40.8cm.求它的外接圆的半径. 5.已知a+b+c=420.7,A=2437,B=5231'.求这三角形外接圆的直径和三角形的面积. 6.三角形的三边AB=17.32cm,BC=12.96cm,AC=21.43cm. 通过B,C的圆的圆心在AC上，求A到这圆的圆心的距离、 ?.求证顶角为a,腰长为m的等腰三角形的外接圆的半径为 m 80o®. §612三角形的内切圆的半径 如图6·12，设△ABC的内切圆I和三条边分别切于D,E和F," 是内切圆的半径.连结IA,IB,IC,ID,IE和IF.从平面几何学中 知道，ID,IE和1F分别垂直于BC,CA和AB. 图612 设4是△ABC的面积，那末 4=△IBC+△ICA+△IAB D. B0+号E:CA +T.-AB 号a+号+r号ra++o). ·234• ==========第243页========== 因此， ,4 但 4=√3(3-a)(3-b)(8-c). .r=V3(8-4)8-b(8-E 就是 r=/(s-a)(s-b)(3-c) 这是用三角形的边表示内切圆半径的公式。 在半角定理 g 1 (8-a)(s-b)(s-c) 2 $-a 82 (8=a)(8-b)(s-c) s-6V = (8-a)(s-b)(s-c) -cv 中，用r代蕃√-a-bs-,得 B r 因此， (-)g-(-t=(-) 例1.在△ABC中，求证 B.C C マ ain号in立bm分in A B c sin2 sin Cos G Cos. 豆 cos B asinin (8-c)(3-a) (s-a)(s-b) 【证 ca ab c09 s(s-a) bc =√⑧-a=b8-=. +235● ==========第244页========== 其余两个式子可以同样证明。 例2.在△ABC中，求证 r4级i血骨m号 in 【证】由例1， B C 三 asinin Cos. 但a=2RinA-2R.2gin 、cogA=4R gin A 2 · 双 B C 4Rsin乞cos豆in A cos2 4好血号Bin2 例3.在△ABC中，求证 4=Rr(sin A+sin B+sinC), 【证1Rr(sin 4+Bin B+sinC) r(2Rsin A+2Rsin B+2Rsin C1 (a+b+c)=g=4. 习题612 1.设R与？分别是△ABC的外接圆和内切圆的半径，求证： (1)abcr=4R(s-a)(s-b)(s-c); (2)4Rrs=abc; )品+品+品 (4)a cos 4+bcos B+c coaC a十b+c 2. ·286· ==========第245页========== 2.三角形三边的长是15.4cm,18.6cm与25.6cm。求它的内切圆的半径。 本章提要 1.正切定理 1 atb g立(A+B) a-b 8A-B） b+_g(B+Cの b-c(B-C) 铝互 otag(C+4) ®0-A等等。 c-a 利用对数解已知两边和夹角的三角形，用正切定理。2。半角定理 &n2=V(s-b)(3-c】 bc co8=,/3(9-a) bc 号 这里， a=号a+b+e, =√9-a)9-b58-e2 利用对数解已知三边的三角形，用半角定理。 ◆2a● ==========第246页========== 8.三角形的面积 )4=号bc sinA (2)4=a2 sin B sinC 2sin(B+C)· (3)d=√s(8-a)(s-b)(s-c).' 4.三角形的外接圆半径 0 b R= 2sin A 2sin B2inC·- 5.三角形的内切圆半径 (1)=(s-a)(s-b)(8-c) (2)r=(s-a)受=(-)g是()に景 复习题六 利用对数计算，解下列各题：1,求x=3×2.752in230°42 2082528g573r的值。c0s29°45 2.求x1-00s2146的值 3.求适合等式gx=1+2in48°16的锐角x的值.4,求适合等式g=2im23915'×0.0387 3c0g72°17 的锐角。 5.根据下列已知条件，解直角三角形： (1)c=298,A=5235'; (2)a=401,B=52°40'； (3)a=54.3,c=72.5; (4)a=1.95,b=4.25 6.从圆的直径的一端作长为39.6cm的弦，它与直径所夹的角是4430.求这圆的半径 7.三角形的二边等于16.2cm和18.9cm,这二边间的夹角是65°42.求这两边上的高. ·238· ==========第247页========== 8.已知△AB0中，a+b=1045,ab=271700,4-18940,解这个三角形. [提示：先利用ab求出C,然后用正切定理.] 9.在△ABC中，已知a=274.5,A=3318,C=8248,解这个 三角形. 10.三角形的两边为5375cm和1587cm,且知后一边所对的角是1511'.求适合于这些条件的三角形的各角. 11.两条直路相交成30°的角；两人A与B由交点同时出发，A 沿一道以每小时5k的速度步行，B沿另一道步行，三小时后两人相距9km.试求适合于此条件的B的两个速度. 12.在△ABC中，已知A=10°，a=2309,b=7903.求适合于此条件的较小的c边. 13.要测底部不能到达的烟囱的高度，在过烟胸底部的水平直线 上，放置测角器AM和CL,测得∠BAD=49°，∠BCD=35°.如果 ML的长是11m,测角器的高是1.37m,求烟囱的高度（精确到 0.1m). 44274042000422037444 (第13题) 14.在△ABC中，a=12.4,B=4510,C=7010,求b边和外 接圆的半径R(精确到0.01). 15.菱形的一角为3725，两对角线的和为465cm,求它的边长(精确到0.1cm)。 ●239◆ ==========第248页========== 16.平地上两树的高=41.25m,n2=64m.在两树基的联线上某点五，利用测角器从工测得两树顶端的仰角a=3230,B=4412.求两树顶端间的距离.测角器的高KL=1.2m(精确到0.1m), N (第16题) 17.在△ABC中，已知b=517.1cm,c=862.3cm,而A适合等式cosA+ginA=1.375.计算B,C,a和4. 18.在△ABC中，已知a+b=2147,c=353,C=13°41'.用模尔外得公式求A,B;并求4，b和它的面积。 ·240· ==========第249页========== 第七章反三角函数 §71反函数 在前面两章中，我们看到，解三角形求未知角的时候，我们总是先求出某一个角的一个三角函数，然后根据这个三角函数的值，求出未知角的度数.例如，已知两边%，b和角A, 应用正弦定理求角B时，我们先由inB-bsin A算出等式 右边的值，然后查表得到角B的度数 但是，对某一个问题，要寻求普遍性的解答的时候，我们常常会遇到用字母表示已知的三角函数值的式子，比方说，inx=m,这里m代表-个已知的数.这时，要写出角的度数是不可能的，只能用m表示角无。下面我们就来研究怎样用m表示角c, 我们知道，如果有两个量，当一个量取某一个固定的值的时候，另一个量就相应地取确定的数值，当第个量变化的时候，第.二个量也相应地变化，那末第二个量是第一个量的函数，第一个量是自变量 但是互相关联的两个量中间，把哪一个看做自变量，并不是绝对的.例如，每立方厘米的铁重7.8克.设心立方厘米的铁重y克，那末 y=7.8c. 用这个公式，知道了铁的体积，可以求得铁的重量.这 ●241● ==========第250页========== 时，我们把铁的重量y看做是它的体积心的函数，：是自变量 反过来，知道了铁的重量y,也可以求铁的体积.它们之间的关系是 =78· 这时，我们把铁的体积心看做是它的重量y的函数，y是自变量 从这个例子可以看到，由于考虑问题的出发点不同，不仅可以把铁的重量看做是它的体积的函数，也可以把铁的体积看做是它的重量的函数. 一般地说，对于函数y=f(x),如果把y看做自变量，并且对于y的每一个可以取的值，x有唯一确定的值和它对应时，我们就把新的函数心=p(y)叫做y=f()的反函数. 在上面的例子中，07”就是y=7.8的反函数.又例如y=2+1的反函数是如=y一1 2 对于函数y=2来说，情形有些不同.当y取某 一个正值的时候，在全体实数中，对应的x值不是 一一个而是两个.我们通常 √m, 说：在全体实数的范围内，x不是y的函数.但是我们可以缩小y=2的定义域，使它只包含零和一切 图71 正数.这时，无论y等于 ·242· ==========第251页========== 哪一个正数m,对应的心只有一个值√m, 函数则=在心≥0的范围内的图象是半条抛物线（图7•1).从图象上可以看到，一点的纵坐标确定后，横坐标是唯 一确定的.这就说明，函数y=在缩小了的定义域x≥0的范围内，心可以看做是y的函数.它们之间的关系是 =+√y. 在这种情形，我们说，c=十√则是函数y=x2在≥0的区闯内的反函数 习题71 1.已知圆的面积A是半径*的函数：A=wr2,"是A的函数吗为什么？ 2.把下列各函数写成龙=P(y)的形式： (1)y=V√2x-m; (2)y=3x3+7; (3)y=2x+3; (4)y=lg(x+V5). 3.在x≤0的范围内，求函数y=x的反函数. §7.2反正弦 现在来看等式n=m(m≤1).我们知道，正弦等于某一个已知数m的角有无数个.例如当sinc=司时，云可以是30°，150°以及这两个角加上或者减去360°的任何整数 倍所得的角。用弧度来表示，就是晋，管，以及这两个角加5死 上或者减去2π的任何整数倍所得的角. 我们可以画出y=sin￠的图象来看这个事实.在图7·2 中，作和如轴平行的直线g=是·这条直线将和y=咖的图 ·243· ==========第252页========== y 图72 象相交于无数个点，每一个交点的横坐标都是适合于sn一 的如的值1 由于y=nx的图象是波浪式的曲线，因此，平行于心轴的直线如果和它相交，那就必然有无数个交点.但是，我们可以把全体实数划分成许多区间，使每一个区间内sn心的值递增或者递减，如图7·2中竖的虚线所表示的.这样，在每个区间内，直线g-是和函数y=in的图象就只有一个交点这也就是说，在这样的每一个区间内，我们都可以求出函数sinc的反函数. 因为，我们最常用到的角是0到受间的角。所以在求三角函数的反函数的时候，我们通常都选取包含者0到受的这 个区间. 我们可以看到，对于正弦函数来说，这样的区间就是闭区间[-受，受在这个区间内，直线y=是和函数y=n心 ·244· ==========第253页========== 的图象只有一个交点，这个交点的横坐标是答。这说明，当血少一是时，从-受到受的✉的值是晋我们把的这个值写做r0i血司，赖句话说，ar0sn号是从-受到受的一、个角，它的正弦等于是 一般地说，当in心=m(|m≤1)时，从-罗到交的如的 值惻做m的反正弦，用arcsin m来表示.这也就是说，arcsinm (m≤1)表示从-受到受的一个角，它的正弦等于m,用 式子来表示，就是 in((in）=m,一受≤ar0inm≤罗（mc1). 例求下列反正弦的值： (1)arcsin0.6536; (2)arosin 1; (3)arcsin( (4)arc sin(-0.4189). [解](1)ar心sin0.6536表示从-90°到90°的一个角，它的正弦等于0.6536.查表得 8in40°49'=0.6536，ar0sin0.6536=40°49' (2②从-受到受正弦等于1的角是受因此， ar0in1-受. (3)正弦等于 2总的锐角是驾因为 2 ●245· ==========第254页========== 所以从一受到受正孩等于-的角是一营。因此，· aro sin( (4)查表得in24°46=0.4189.因为sin(-24°46■ -in24°46'=一0.4189，所以从-90°到90°正弦等于 -0.4189的角是-24°46. .∴.aro sin(-0.4189)=-24°46， 由于三角函数y=sin心当y取一1到+1的一个值的时候，对应的值有无数个，所以我们也只能考虑它在某一个区间内的反函数. 从上面所说的，如果把y=sin亚的定义域缩小成一受到受的一个区间.那末在这个区间内，当y取某一个值m(m≤1)的时候，对应的龙的值只有一个，并且这个值可以用反正弦are sin m来表示（图73）.因此，对于y的任意一个从一1 到+1的值来说， @=arc siny.这就是说，函数y=in在[-受，受}这个区间内的反函数是 花=ar心iny,我们把它叫做反正弦函数. 图78 在反正弦函数心 ar心i如y中，自变量y是从-1到+1间的任意一个数，函数m ·2480 ==========第255页========== 是正弦等于y并且在[-受，受]个区间内的角。因此，反 正弦函数的定义域是 ー1 °2-arc cos m≥ 就是 -≤受-m≤所以aroi血m和专-都在[一分，]这个区间内.但是在[一受，爱]这个区间内正弦等于m的角只有一个.因此 ·268· ==========第277页========== arcsinm=号-arc cosm, 移项，就得到 arcsin m+arccosm-3 用同样的方法可以证明公式(6). 从上面所讲的可以看到，证明反三角函数间的关系一般分为两步：第一步证明等式两边的角的某一个同名三角函数值相等；第二步证明两个角在同一个这间内.如果在这个区间肉，对应于已知的三角函数值的角只有一个，那末，就可以知道等式两边的角是相等的，例证明ar心g是+如eg弓-置. 【证】1)g(areg号+areg》 g(arcg》+g(eg)_+专1,1 i-g(areg）g(e） g중-1 2) 0 bc ca +arctgc(@+b+0=i, ab 18.求证 g(径+号aeoa号）+g(任-日号）=20. •272● ==========第281页========== 第八章三角方程 §8·1最简三角方程 我们知道，含有未知数的等式叫做方程.如果方程中含有未知数的三角函数，那末就叫做三角方程.例如 2sinx-1=0: sina+cosa=1; 等等，都是三角方程。象方程 sina4x-1=0. 未知数不仅出现在三角函数记号的后面，而且还有不在三角函数记号后面的，这样的方程也是三角方程. 求出适合于三角方程的未知数的一切值，叫做解三角方程.这些值叫做三角方程的解.某些三角方程可能没有解，就是，未知数的任何值都不适合于求解的方程。遇到这样的情形，解方程的结果只要指出它没有解就可以了.· 解三角方程的问题，在前面儿章中早已遇到过。不过以 .前我们不说解方程，面说“求适合于等式的角”，或者“求适合于下列条件的角”.其实这和解方程是同一回事.在这一章中，我们要把解三角方程的知识有系统地介绍一下. 三角方程的形式是多种多样的.它不象代数中的一元一次方程或者一元二次方程那样，有固定的解法.实际上，只有某些特殊类型的三角方程才能够用初等数学的方法求出它们的解。 ·273· ==========第282页========== 用初等方法解特殊类型的三角方程时，归根结底，要把所给的方程化成一个或者几个象sinx=a,c0sx=a,g心=a,ctg心=α等形式的方程.这样的方程叫做最简三角方程. 解最简三角方程，就是§29中所讲的“已知一个三角函数的值，求角”的问题.虽然这个问题以前已经解决了，但是利用反三角函数，可以更方便地写出结果。现在我们分别说明如下： 1.sina=a 例1.解方程 sina=3 [解]因为已知的正弦的值是正的，所以在0与受之间有木知数x的一个值适合于所给的方程.这个值可以用反正弦来表示，写做 I-arcsin4 根据诱导公式sin(r一a)=sin&,可以知道，适合于sin 的未知数的另-·个值是3 3 cg=元-ar0in4 因为正弦函数的最小正周期是2红，所以对于和c加 上或者减去2x的整数倍，所得的角的正弦都等于是. 由此可知，适合于所给方程的未知数的一切值是①： a-2ng+arcsi3 ①以下n都表示整数 ·274· ==========第283页========== @-2ng+-are sin 3 3 =(2m+1)元-arcsin 例2.解方程simx=一2 [解]因为已的正弦的值是负的，所以在一罗与0之 间有所给方程的一个解.这个解可以写做 =are sin 又因为诱导公式sin(π-a)=sina对于a的任何值都成立，所以方程的另一个解是 =-acsn(景） 因此，所给方程的一切解是 c =2na ++are sin( a=2nn+a-are sin(-) -(2m+1)e-are in(-号) 从上面的例题，可以看到，当：a≤1时，方程sinx=a的 一个解总可以写做 化1=arc sin a, 而另一个解写做 a=-arc sin a. 因此，方程snx=a的一切解是 x=2na+arcsin a; (1) c=(2n十1)π-&rcsin化. (2) ・275 ==========第284页========== 由于正弦的绝对值不能超过1，所以当a|>1时，方程in=a没有解. 利用公式(1)和(2)，我们可以直接写出方程sinc=a的解、 2.c03x=a 例3.解方程c09心=一0.3. [解]已知的余弦的值是负的。方程有一个解在受与π之间.这个解可以写做 1=arcc0s(-0.3). 因为c0s(-a)=c09a,所以方程有另一个解 x2=-arcc0s(-0.3). 根据余弦函数的最小正周期是2π，可以知道方程的一切解是 x=2mr+arcc03(-0.3); x=2m-arcc0s(-0.3). 一般地说，当a≤1，方程c0sx=a的一个解总可以写成 w =arc cos a, 并且 g=一arGC0Sa 也是方程的一个解.因此，方程cosx=a的一切解是 x=2nt±arc cos a. 当a>1时，方程cos花=a没有解. 3.tgc=a不论a是正数、负数或者零、gx=a的 一个解可以写做 m =arc tg a, 因为正切函数的最小正周期是匹，所以对于x加上或者 •276· ==========第285页========== 减去π的整数倍所得的角的正切都等于a.因此，方程的一切解是 x=n+arctga. 例4.解方程g=W3. [解]因为a0g√3-3，所以方程的解是 =nr十ar℃g√3=nr+, 4、ctgc=a这个方程的一个解是 wi=arcctg a, 因为余切函数的最小正周期是匹，所以方程的一切解是 a=nx+arcctg a. 例5.解方程ctgc=-1. I解] 因为cg(-1)-8,所以方程的解是 a=na+arectg(-1)=nn+3元 4 习题81 1.a在怎样的范围内，方程sinx=a+1 2有解？ 2.8在怎样的范围内，方程c0sx十1没有解？3、a在怎样的范围内，方程gx=-a +1没有解？ 4,a在怎样的范围内，方程(a一1)ctgx=3有解？ 5.已知ab≠0，方程sinx=2+ 2ub当a=b1a≠b时解的情形怎 样？ 6.解方程inc=√3！ 2、1 •277• ==========第286页========== 7.解方程cosx=0.7342 8.解方程sinc=sin5r,4· 9.解方程gx=-V③： 3 10.解方程ctgx=√3. §8·2只含同角的同名三角函数的三角方程 如果三角方程中只含同一个角的同名三角函数，那末可以先应用最简三角方程的解法求出这个角，然后再求未知数的值.现在举例说明如下： 例1.解方程sin3a-克1 [解1我们先把3看做一个未知量，求得它的一切解是 3a2nw十a0sin号-2凯m+吾：3x=(2m+1)元-arosin2-2+-품 -2nat +5o0 6 。.方程的解是 化=3 3 18 为了要知道心的值是否适合于原来的方程，我们可以这样来进行验算： 当m-0时，g=器或g（就是10°或50). ·278· ==========第287页========== 令=，我们得 令Bot 18我们得 =sin5x1 6-2 所以高和都适合于原方程. 从方程的解可以看出，未知数的其他的值都和西或者 6死 18 相差答的整数倍.由于n3a的最小正周期是（见5,所以可以知道2+高和2+的正弦郑尊于受，因而它们部是所给方程的解， 例2.解方程 2 [解】-2nx±aoo(-2)2mx士4· 3 ..c=4元土3π 2· 验算：当%-0时，=±经、把和-3代入原方程都适合.因为c0e的最小正周期是4，所以4n士元2 都是原方程的解. 例3.解方程tg(x+30)=√3. 【解]+30°=n180°+are tg√3=n180°+60° ..=180°+30°， 请读者自己验算. ·279· ==========第288页========== 例4.解方程g(2-受）二-1， 【解】2m-受=nr+arog(-1） n+(-)=nそ 。'.2c=wr-元 6 212· 例5.解方程g22x-1=0, I解] g22ac-1=0, tg22c=1, .∴.g2=土1. 由g2c=1,得 2=nr+arc tg1=nr+元=%十 2T8 由g2x=-1,得 2r=nr十arc tg(-1)=ns-π45 28 所以方程的解是 .2 十8；=%rx =元+元； 28 例6.解方程2sin2x-5sinc-3=0. 【解]我们先把in心看成一个未知量，用代数方法解这个方程，得 ·280· ==========第289页========== 1 inx=3,sin花=- 因为sin:的值不能大于⊥，所以sinx=3没有解. 由血=是，得 =2r+ain(-)-2n:女-(2n+10x-a0in(-号）-2s+7、 例7.解方程c08-√5=cosa-10 cos x C0sx+V5· 【解】两边都乘以cosx(c0sx+√/5)，得 c092e-5=C0s2x-10c0Sx, 就是 1 C09化=2 所以 x=2nr± 3 因为求得的c的值不使原方程的分母失去意义或者变成零，所以是原方程的解 习题82 解下列各方程(1~9)： 1.0s4x=1. 2.n(6-〉=-子 3.2co(至+0）=-V2.4. t"(2+중)-3。 5.sin2c4+sinc-6==0. 6.2c0s2x+3c0s2x=2 7.g22x1 2+g2x3· 8.1-sin3x=1. 1+sin 3x 9.2gx=0. 1+tg"x ·281· ==========第290页========== 10.下列各方程能否有解？为什么？ n(2-哥）-2(2②)cs(5--a+是(a*0. §83可化成含同角的同名 三角函数的三角方程 如果一个三角方程经过变形，可以化成只含同一个角的同一个三角函数的方程，那末就可以用§8·2的方法来解。现在举例说明如下： 例1.解方程in2化-c02化=c08G, 【[解】这个方程含有未知数的正弦和余弦，但是，利用 三角函数间的关系sinc+c0s2x=1,可以化成只含有未知数的余弦的三角方程. (1-C0s2e)-c0s2w=C09, 就是 2c0s2x+c08-1=0, 1 .'.C09x=-1,c08=- 由c08c=-1,得G=2nt+t=(2m+1)匹； c08x= 之，得=2x士1由所以原方程的解是 x=(2凯+1)m;心=2r士3 例2。程8cs +coss-1 【解】由二倍角公式，得c0sx=2c082号-1. 因此，原方程可以写成 ●282* ==========第291页========== 3os号+2c0然受-1-1， 就是 2oc空+3cas号-2-0. 、 0s受-2没有解 由0-得 的 -2n士营2 ,.=4土2n 3 例3.解方程 m(3x-)os(3x+）+o(3a-晋)sin(3x+晋）-1. 【解]这个方程虽然含有不同角的不同的三角函数，但是左边可以化成两个角的和的正弦.换句话说，这个方程可以写成 m[（3x-爱）+(3a+晋)】-1， 就是 sin (6r-품)-1。 因此， 6-元=2nt+T 2 移项，得 6a=2mg +2n 3· 所以 x=%r十元 39 例4.解方程 cos 2x=0.1-sin 2x ·283● ==========第292页========== [解]把方程的两边都乘以1-·sin2,得 c082ac=0. 由c0s2x=0,得2a-2mm士受，x=%土平， 因为心=r+匹使原方程的分母等于零，所以它不是原方程的解。原方程的解是=x一4 例5.解方程 sin 3x cos 3csin 2 cos 2 【解】把方程的两边都乘以最简公分母sin2ccos2,得 sin 3c cos 2w=cos 3o sin 20, (1) 移项，得 sin 3a cos 2c-cos 3a sin 2c0, 就是 sin(3x-2x)=0,sin =0. 所以 花=视死. 但当c=nm时，sin2x=sin2mc=0,原方程的一个分母等于零，所以x=r不是原方程的解。原方程没有解 习题83 解下列各方程： 1.cos2x+3sin x=3. 2.sind a-cos1 · 3.cg2(++x-3-0.4.22号=s(管+号》 5.2c0sx+3=4c0s 6.in2x+c0sx=-1, 7.cos2x=cosx. 8.2ctg2x+2cosec2x-7ctgx+1=0.0284· ==========第293页========== 9.sim(e+￥）os(年-x-1,10.2in2x-sim22x=0. 11. =1. 12.sin 4r cos 4n eosx coSx Sinx· 13.sin 21+cos2=0. 14.tgx=tg2c. §8·4可化成一边为零而另一边是 若干个因式的积的三角方程 在代数中，我们知道，如果一个方程的一边是等，而另一边是若干个因式的积，我们可以令每一个因式等于零，然后解这些方程.用同样的方法，我们可以解一边是零面另一边是若干个因式的积的三角方程.举例说明如下： 例1.解方程sin c09+1=sinc+c03:,[解1移项，得 sin ~c09花-c0sc-sin十1=0， 就是 cosa(sin a-1)-(sinx-1)-0,(sin-1)(c0sx-1)=0, 这样，我们得到了右边为零，而左边为两个因式的积的方程 th sin8-1-0, 得sin =-1,=2m+z・ 由c0sx-1=0,得C08x=1,x=2m元.因此，原方程的解是 心=2wr+g；元=2nr、 ·285● ==========第294页========== 例2.解方程sin4+sinx=0. 【解1应用把三角函数的和化为积的公式，得 5龙. 2 sin cos3 2=0 由sin=0,得6g=,x=-2ni 2 2 5 由 -0,得 c092 一m+受 +풀ー(n+)풍3 原方程的解是 =(2n+D중 化、 例3.解方程sin3x+cos2c=0. 【解1因为cos2-sin(受-2x）,所以原方程可以写成 simn8x+sin(变-2a）-0. 把左边的三角函数的和化为积，得 2sim3a+(受-2a)小cas7[3x-(受-2a)月-0， 就是 2n(+)s(受-0由sin(堂+)=0，得艺+至-，=%一， 优=2n元2 由c0s3 2 4 =0,得5-=十 元 24 23 一9第死 2m元4 化= 3a5 10 ·286· ==========第295页========== 原方程的解是 =2nσ- 2nc十3元 2 510 例4.解方程sin c+sin 20+sin 3a=0 【解】把这个方程写成 (sin a+sin 3@)+sin 20=0. 再把括号中的三角函数的和化为积，得 2sin 2a cos@+sin 2=0.,'.8in2c(2c09w十1)=0， 由sin2=0,得2c=n元，x=c 2 面2o0E+1=0,得c08=-司，B=2土2 3. 因此，原方程的解是 =nn c=2饥x士2 2； 3 例5.解方程gc+g2+g3x=0. [解】我们可以用正弦与余弦的比代替正切，把原方程化成分母含有未知数的三角方程 sin sin 2at sin a0 coscos 2wcos 3a 把第一个和第二个分式通分后相加，得 sin cos 2co sin 2sin 8=0, cos a cos 2 cos 3x 就是 sia 3at sin 3-0. cosx cog 2.x cos 3x 两边都乘以最简公分母，得 sin 3x cos 3a+sin 3x cos a cos 2x-0. 就是 sin 3a (cos 3a+cos a cos 2x)=0. ·287· ==========第296页========== 这个方程可以分成下面的两个方程来解： sin 34-0,cos 3x+cos a cos 2=0 如果sin3ac=0,那末 3W=n死， ≈r 3 因为所得的：的值不使原方程的分母等于零，所以它是原方程的解。 如果c0s3x+c09心C0s2=0,那末 4c0930-3c0sx+c09x(2c092花-1)=0， 就是 6c0s3G-4C0S=0, 2c03c(3c0g2x-2)=0. c0s心=0的解不是原方程的解，因为它使原方程的分母等于零. 由3c092c-2=0,得 cos2x-3 c0gx=土√2 w=2wr士arCc09 3 w=2m%r士arCC0s 因为心的这些值不使原方程的分母等于零，所以它们都是原方程的解. 因此，原方程的解是 w=2肌r±aroc0s 2 ·288· ==========第297页========== c=2m死士ar0c0g(-√) 习题84 解下列各方程： 1.sin2c(1+in2x)=0. 2.in号=0. 3.c0s2ctgx=0.·、 4.sinatgasecx=0. 5.2ctg xsinc+ctgx=0.6.5cosx+3sin2x=7cos. 7.2sin2c+sin22x=0.8.sin2x+sinx=0. 9.sin(50°-x)=cos(50°+x). 10.1--sinxcosx+sinx--cosx=0. 11.sin5x=sin 4o. 12.cosx+cos 3x=cos5x+cos7a 13.cos15x=sin 5x. 14.cosx--cos3c=siu2.. 15.1+cos 2x2sin 2 2cosx 1-C032x· 16.1+g父=1+sin2x. 1一tg0 17. 2cosx. 3 cosf x-B §85形如inx+b cosx=c的 三角方程的解法 前面三节中所讲的解三角方程的方法，是三种最常用的方法。此外，某些特殊形式的三角方程有特殊的解法。我]来看下面的例题： 例1.解方程2sinE+7cosx=6. 【解】把方程的两边都除以2，得 7 sincos=3 (1) 我们用§4·9的方法把方程(1)变形，使它的左边成为-一个角的正 ·289· ==========第298页========== 弦的形式。 令g9-子代入方程(1)，得 sinx+tgo cosx=3, 就是 sin+sing cos=3. cosp 两边都乘以cosp,得 sin xcoso+cosasinp=3cos, 就是 sin(x+o)=3cosp, (2) 查表，取角伞的一个值： ar4 ∴.c0s=℃0s743'=0.2748, 代入方程(2)，得 in(x+743)=3×0.2748=0.8244, ..+743'=n.360°+are sin0.8244 =n.3603+55°32； c+74°3'=n.3603+180°-arcsin0.8244 =2.360°+180°-5532. .x=n.360°-1831'； x=360°+50°25。 例2.解方程sinx-8cosx=l4.解1令gp=8.代入原方程，得 sinx-tg o cos北=14， 就是 sinsin cog14. cosp .'sinxcoso-cosxsino=14coso, 就是 sin(x-p)=14coso. 查表，得 p=ar℃tg8=8253', .∴.c0sp=c0s82°53=0.1239 因此， sin(x-8253')=14×0.1239=1.735, 但是角的正弦不能大于1，所以原方程没有解、 ·290· ==========第299页========== 一般地说，解a sin x+b cosx-=c的步骤是把方程的两边都除以a,得 sin x+ 令绍=合，代入后，得 inx+绍中co0s无=行， 就是 sin+in史cosx=C.1 C08单 因此， sincoincos 就是 sin(x+p）=gosp. a +=(2+1m-arein(o8p）. ∴.x=2nx-p+arc8in =(20+1)x9 aresin(台cosp）. 注意，解asin x-十b cosa-=c,也可以把方程的两边都除以b,而令 名=gp. 例3.解方程6cosx-8sinx=9 【解] 6cosx-8sin x=9, 4 cos sin=3· 2 令g子得 cosa-tg psin3 之 .'cosx coso--sin tsin=3CoS 2 ·291· ==========第300页========== 就是 C03(g十p)=3cos. 查表，得 -arctg-538',∴.c0sp=c0s538'=0.6000, 因此， ce(z+589y=8x0.60-=0.90. ∴.x+53°8'=n.360°士arcc0s0.9 =n.360°±2550'. x=%*360°+25°50'-538=%.360°-2718'；x=m.360°-25°50'-538'=%…360°-78°58， 习 85 解下列各方程： 1.sinx+cosx=1. 2.6inx+√3cosx=1. 3.√3sin9-cos0=Vz. 4.cos0-sin0=√z. 5.(2+V3)cos9=1-sin0 6.cos 2x=cosc+sinc. 7.5sin0+2cos8=5, 8.sina--cosx=1, 9.在直角三角形中，如果一条直角边的3倍与另一条直角边的4倍的和等于斜边的5倍，求两个锐角. §86&inx和cosx的齐次方程的解法 在代数中，含有两个未知数心和则，并且各项的次数都相同的方程，叫做心和y的齐次方程.例如， ax+by=0,aa2+bay+cy-0 分别是x和y的一次齐次方程和二次齐次方程.同样，我们把含有sinx和cos,并且对于inx和co3c来说，各项的次 ◆2820 ==========第301页========== 数都相同的三角方程叫做sn心和co8心的齐次方程. inx和cosc的一次齐次方程和二次齐次方程的标准形式分别是 asinx+-bcosc=0, asin2x+osinacos+ccos2=0. 现在我们举例说明它们的解法如下：例1.解方程5sinx+2c03花=0. [解].这是sinx和c0sc的-一次齐次方程， 我们知道，c0s≠0.因为如果cosx=0,那末sin龙等子1或者一1,5sinx+2c08c就等于5或者-5，不等于零. 因此，我们可以把方程的两边都除以os心，得出和原方程同解的方程 5sinx+2=0, c0g化 就是 5gx+2=0. 解这个方程，得 gx=6 G=%180°+ar0g) =%180°-ar℃tg2 就是 c=%180°-21°48. 例2.解方程2sin2x+3 sinac0sc十cos2c=0,[解]这是sinc和cos￠的二次齐次方程.它的解法和例1的解法是相仿的. 把方程的两边都除以C0s2心，得 2g2花+3gx+1=0 ·293◆ ==========第302页========== gx=一1，g=-1 由gw=一1，得 龙=n,180°+ar℃tg(-1)=%,180°-45°， 由g=-2,得 e=n160°+aog(-司）=n…180°-26°34. 所以原方程的解是 c=%180°-45°；心=%.180°-2634.例3.解方程3gin2x-4 sin a c0g龙+5c0g2=2. 【解]这个方程表面上虽然不是齐次方程，但是利用in2c十c0s2x=1的关系，可以把它写成 3sin2-4sin a cosa+5cos2x=2(sin2x+cos2x),就是 sin2c-4sin a cosx+3 cos2@=0. (1) 这样，我们就把原方程化成了sin和c0s:的二次齐次方程. 把方程(1)的两边都除以c0s2x,得 g3x-4gx+3=0. .'.gx=1,tgx=3. 由gc=1,得 龙=n180°+ar0g1 =m180°+45°， 由gx=3,得 x=n180°+arc tg3=n180°+7134. ·294◆ ==========第303页========== 所以原方程的解是 x=m180°+45°；c=m…180°+7134. 例4.解方程8sin2号+3sin心-4=0. 【解】我们可以把这个方程写成 8sim'受+3-2sin受os气-4(sin2z+cog2受）=0，就是 4sin3受+6sin受os受-4cog2受-0，2sim2受+36in受0s受-2coe2受-0.把最后这个方程的两边都除以co罗，得 2g2受+3g受-2=0. 由g受-，得1 =%180°+ar0g1 6 =n180°+26°34. 由g空=一2，得 空=n180°+a0tg(-2) =n•180°-63°26'. 所以原方程的解是 x=%360°+53°8；w=%360°-126°52'。 ·295· ==========第304页========== 习题86 解下列各方程： 1.im(+岩)+（音--0. 2.V21 0 see x cosee x 3.2sin2a-7sin xcosa+6cos2x=0. 4.1+sin2x=3sinxcosa, 5.sin2+cosxsinx=1, 6.asinx=bcos2 2 7.asin2+bsinxcosx+ccos2x=0 8.14co心受+4cosx+3sim出=0， 9.cos?5x+7sin25x=8 cos5x sin 5 10.secx=4sinx+6cosc. §87三角方程的图象解法 前面各节所研究的三角方程的解法通常叫做解析法。除此以外，我们还可以利用图象来解三角方程， 为了使求出的解尽可能地精确，图象最好画在现成的方格纸上①、现在我们举例说明三角方程的图象解法知下：例1.解方程sin2x÷sinx. 【解】这个方程的解就是函数y=sin2c和y=sinx的值相同的时候，自变量x的值.由此可知，要解这个方程，可以在同-一坐标系中画曲线y=sin2c和y=inx,.求它们的交点的横坐标. 在图8·1中，我们看到，两条曲线在从一到x的区间内有五个交点。它们的横坐标分别是 1=0,x2.8≈士1.0，x4,5=士r。 ①这种方格纸又做计算纸，可以在文具店里买到。 ◆296· ==========第305页========== 1.0 0.6 =3.0 -2.0 -.0 0 2.0 .30 图81 在图中还可以看出，这两个函数的公共周期是2x,所以在上面这些值加上2x的任意整虹倍，得到的值都是两条曲线的交点的横坐标。因此，原方程的解是 x=nx;x≈2nπ土1.0 从上面的这个例题中，我]看到，用图象解法只能求得精确度不很高的近似结果，并且手续也比较麻烦。但是，在实际问题中，我们往往遇到不能用初等方法来解的三角方程.在这种情形，图象解法的作用就变得显著了.我们来看下面的例题：例2.已知弓形的面积等于圆的面积的 求弓形的弧所对圆心 角的弧度数 【解】如图8·2，设弓形弧AB所对的圆心角的弧度数是x.那末 扇形A0B的面积一x =2， 2 △A0B的面积=之R2sinx。 ◆297年 ==========第306页========== 图82 因此， 弓形ACB的面积=子x-子ri加 根据问题的条件，得到方程 号Ra一专ina-把方程的两边都乘以，得2 化-8in知=2 就是 sin x=x- 2 这个方程的未知数既有含于三角函数记号后面的，也有不含于三角函数记号后面的.用初等方法不能求得它的解。但是，我们可以作函数 y=sinx和y=r-z 的图象，求得它的交点的横坐标（图83）： x≈2.3 因此，弓形弧所对的圆心角约为2.3弧度(132).例3.解方程x一gx=0. 【解] 心一tgx0, 所以 花=tgE。 •298* ==========第307页========== 1.0 0.5 051.0 1.5 2,0 253,0 ー0.5 1.0 图83 作函数 y=x和y=tg花 的图象（图8·4）.从图中可以看到原方程的一个根是x=0。除此以外，原方程还有无穷多个正根和负根 因为直线y=x和曲线y=gx都是对称于原点的，所以我们只要注意原方程的正根就可以了 第一个正根约等于4.5；第二个正根约等于7.7.因为每支曲线向右上方无限伸展，并且愈来愈靠近直线女=江+之，所以数值愈大的正根，愈近似于m+受，例如，第三个正根近似于3x+之第四个正根近似于4如+受，等等， 原方程的解是 x=0,±4.5，士7.7，等等. ·299· ==========第308页========== 3元 /2 图84 习题87 1.下列各方程有多少实根？ (1)c0sx-x=0; (2)x2-inx=0, 利用函数的图象，解下列各方程(2~4： 2.inx+x=0, 3.C03x-第=. ·8000 ==========第309页========== 4.sin 2x-tgc, 5.求gr-x=0.5的最小正根的近似值（精确到0.01）。 本章提要 1.最简三角方程的解 方 程 解 x-2n +arc sin a sinx=a(|a≤1) x=(2n+1)x-arc sin a =2na +arc cos a cos=a(|a≤1) x=2mr士arCc08a x=2肌wr-ar℃C03a tg a=a x=na +arc tg a ctg a=a x=na +are ctg a 2.一般三角方程的解法 ()只含同角的同名三角函数的方程：应用最简三角方程的解法.(②)可化成含同角的同名三角函数的方程：先化成含同角的同名 三角函数的方程，然后应用最简三角方程的解法， (3)可化成一边为零而另一边为若干个因式的积的三角方程：令各个因式等于零，解所得的方程. 3.a8inx+bco8x=c的解法 利用辅助角甲=a©g名，把左边化成一个角的正弦来解。 4.inx和cox的齐次方程的解法化成只含有未知数的正切的三角方程来解. 6.三角方程的图象解法 在同一坐标系中，作出方程两边的函数的图象.它们交点的横坐 ·301· ==========第310页========== 标就是原方程的解。 复习题八 1.下列各方程可能有解吗？为什么？ (1)sin x+cos=V3; (2)5in仿=8eC; (3)sin2x+cos2x=√V2; (4)tga.ctgx=√2， 2.a在怎样的范围内，下列各方程才可能有解？ 四=； (sinxcosx=a; (3)sinx十coSx-a; (4)(a+1)cosecx=2, 解下列各方程(3~13)： 3.4 cosx--3seca=2tgx. 4.tg2c.tgx=1. 5.sin x+sin 2x+sin 3x=1+cosx+cos2.c. 6.sin 2a cos x sin x cos 2x' 7.tgx+tg2x=tg3x. 8.8in2(x+15°)-sin2(x-15°)=1 9.sinx+ain2z+sin3r=4cos营coszcosx 2 *10.co8w(1+in2）(V3+g)=cos是+o0s(2z-〉 1.3如(e-)+4m(e+音）+5n(5+看）=0. 12.sin 2x=cos 2x-cos2x+1 13.sin x+cosx=eos 2x 1-81m2x √3sin2x=sin2y, 14,解方程组 1 v3sin2+siny(v3-1). 15..m在怎样的范围内，方程sin2x+sin2a-2cos2x=m才有解？1又令m= ,解这个方程 16.如果等腰三角形两腰上的高的和等于底边上的髙，求这等腰三角形的各角. ·302。 ==========第311页========== *17.矩形的一条对角线的长是10cm,面积是25√3cm,求这对角线和各边所夹的角. *18.在一个正方形内作一个内接正方形，使它们面积的比为3：2，求内接正方形的边与原正方形的边间所成的角. *19.把60°的角分为二部分，使一部分的正弦为另一部分的正弦 ·的两倍.求这两部分的度数 *20.利用图象求方程x2sinx=1的绝对值最小的正根和负根的近似值（精确到0.01）. *21.利用图象求方程gx=2x的最小正根（精确到0.01）. .303· ==========第312页========== 总复习题 1.求下列各函数的定义域： (1)y=v-cosx; (2)y 1 tgoseex (3)y=√√/2-2sinx; (4)y=gg3x; (5)y=cosecx (6)y=Vsin x-cos 1--tgx 2.下列各等式能否成立，为什么？ (1)sin3c=-1.5; (2)gx+ctgx=√3； (3)secxcosecx=V2; 2a2 (4)sinx+cosecx=a2+1(a≠0，且1a≠1). 3.在哪一个象限内： (1)角的正弦和余弦都随着角的增大而增大？ (2)角的正弦和正切都随着角的增大而增大· (3)角的正割和余割都随着角的增大而增大？4,化下列各式为小于45°的正锐角的三角函数： (1)sin2600°； (2)co33114°； (3)tg(-73614); (4)ctg1122°； (5)sec(-1947o);(6)c0sec(-3700°). 5.化简下列各式： (1) tg(π-a) n2r-os(- E-a) 3 sin(x-a)in in)oo(a) (2) (3)2c0s2(90”+a)[sc2(180”-a)+1] 1s1n(a-270'） +ctg(270+a)[ctg(180°+a)+tg(180°+a)]; ·304· ==========第313页========== 国增(21a+a）-安(2n1-） (5) 2cos660°+in630°3c08j022°+2c0s(-671）· 6.求下列各式的值： (1)8in510c08(-300)tg240°； (2)10ctg315°in(-150°)cos225°； 3元 (3) sin(a+a) g(艺+a +g(元-a)+co80; sin3 i-a ctg(π-a) (4)（a2-b2yegx-m2+a2+g(包-） g(管-a atg(a-a) 7.求下列各三角函数的最小正周期： (1)cos元(x+1) 2 (2)im3z+g号 (3)tg 3nx+ctg2ax 8.求证下列各恒等式： (1)1sina+scca)1-sin a (2)·1+2sinacosa1+tga cos a-sin2a 1-tga (3)4sinasin(60+)sin(60-x)=sin3x; (④o时z+os(120+)+os(240+）-号： (5)cos2(a-36)+co823,6-2cos(&-3,3)c0 sacog3,3=sin2a;"(6)in87o-in59°-sin93°+sin61'=sin1°. 0.若ina:in受=8：6，求ctg的值. 10.若（そ-）-，0<マ，计邦cos 2x (至+ 1.已知osa-os8=司，sina-in8=-京，求in(a+的值.1. ·805· ==========第314页========== 12.已如铭2r=头，求inz的值. 13.不用查表求下列各式的值： (1)sin3730'cos730'; (2)c035230'cos730'; (3)8in210°+cos240°+gin10°cos40°. 14.求证co9受co08是eo8是…c08易=sin x 2i咖品 "15.求证2cos5°=√2+V2+V2+…室n+项 提示利用2oe45°=V,2w6智-V2+V尼，.] 16.已知A+B+C与元，求证 sin3 A+sin B+gina C 3A 3B 30 cos 2 2cos2 17.已知A+B+C=匹，求证 cos+0s. 4co8防+B =4cos元+A 4 C0g匹-C 4 18.已知a+B+y+8=2元，求证 ga+tgB+tgy+gδ =tgatg Btg ytg(ctga+ctgB+ctgY.+ctgδ)、 19.已知A+B+C=匹，求证 sin(B+2C)+sin(C+2A)+Bin(A+2B) -4sn8g0imC2n42日2 2 20.已知u+B+y=元，求证 sin2a+sin2 B+sin2 y=2+2 cosa cos B cosy. 21.化下列各式为积的形式： (1)1+cosa+cos8+cos(a+B); (2)sin2a-cos2B; (3)in10°+in20?+sin30°+in40°+ia50°； ◆306◆ ==========第315页========== 0(4)2cos10°c0820°-2c0s30°+sin40°， 22.已知a+3+y=m,n为整数，求证 sin 2ng +sin 2nB+sin 2ny =(-1)n+1.4sin nasin nBsin ny. 2· 24.求证cos气-08 5 "25.已知c08g=c0s(x+a2=co(x+2a）=00s(z+3a） 求证 a 6 d a+c✉b+d b 26.为何值时，下列各公式是正确的？ (1)sinx=V1-co32元； (2)C0g 2=V1+cos 2 (3)√1+sin2c=sin花+cosx;(4) n第 1-008第· 27.a为何值时，下列各等式成立？ (1)Vtg"a-sina=tgasina;(2) -cos a +cosa=ctga-cosec aj (3)vsec a+coseca=-tga-ctga; (4) +sn&+√+mna 1-gin a/1-sin a=-2seca. 28.·已知co329=3 ，求in46+cos9的值. 29,不用查表求下列各式的值： (1) 2sin1200-sin630 tg960°+2c0s(-660) (2)tg10°ctg20°sin35°cos40°cosee50°sec55°ctg70°tg80°； (3)sin70°+sin10° cos70°-cog10°· 30.已知tg2a+seca=5,求c08a. 31.已知2tga+3inB=7,tga-6inB=1,求ina及sinB. 32.求函数y=3V3co82c+3sin2c的振幅和周期. ·807◆ ==========第316页========== 33.求证 Cos1500s2死co83otcos151540 1 5rc06 1 6死c0915 1 =2 34. 10 *35.求证(1+√3)cosa+(1-V3)ina=2√2co8(a+15). 36.求证sin47°+in61°-sin11°-sin25°=cos7°. 37.已知cga=圣，g8=7,且0sin(4+B+C). [提示：化sinA+sinB+sinC-sin(A+B+C)为积的形式.] 75.在△ABC中，求证cosA+cosB+c0sC>1. *76,在△ABC中，求证 B cos sin a+c ee号sin(+B 8+b ◆ %77.如果a,b,c为三角形的三边，且a++c4=2c2(a2+b),试◆310◆ ==========第319页========== 证角G为45°或135°， [提示将上式化为-士] *78.在等腰直角三角形内，作一个等边三角形，使它的各角顶在原 三角形的各边上，它的一边平行于原三角形的斜边.设原三角形的直角边为a,求证所作等边三角形的面积为2a2sin60°in215°. 79.若△ABC的内切圆半径为Y,求证BC边上的高 B C AD=2rcos乞co8z cos B+0 2 80.等腰三角形ABC中，A=100°，底角B的平分线交AC于D, 求证AD+BD=BC, *81.在等腰三角形ABC中，已知：AB=BC=b,AC=4,∠ABC=20°.求证a3+b3=3ab [提示：利用sin30°=3in10°-4ein10°.] 82.用c0s10°表示 c0s10°+cos20°+c0s30°+cos40°+cos50° +c0s60°+c0s70°+c0s80° 83.某人在A处看竿顶的国旗，由A向前走11m至B,由B向前走5m至C,已知在A,B,C测得竿顶的仰角分别为a,2a,3a.求旗杆的高度。 *84.在△ABC中，求证 4=4Rr cos 2· (第83题) 85.在一角内作互相外切的两个圆，同时这两个圆都与角的两边相切.连结每一个圆与角的两边的切点的弦，依次等于2和b。求该角。 *86.半径为R的圆内一点P和圆心的距离为c,经过P点引直径和两条互相垂直的弦，其中一弦和直径成α角，求以此两弦为对角线的内接四边形的面积。 t8110 ==========第320页========== 87.半径R和Y的两圆与直线AD切于A点，并且位于AD的一 侧.一条平行于AD的直线交两圆于点B和点C,B,C位于中心线 的一侧.求△ABC的外接圆的半径 &8.求内接于半径为10cm的圆的五角星形的面积. 89.已知正n边形的一边长是a,求它的内切圆半径，外接圆半径和面积. 0,在人10中，已知agM+bg日-(a+bg4告月，来证原 三角形为等腰三角形. [操示求证号-o合] 91.在△ABC.中，已知sinA:inC=in(A-B):in(B-C).求证a2+c2=2b2 2.在△4B0中，已知影是会-。之，求证4=0. 93,已知平行六面体交于一点的棱长为a,b,c.其中两棱互相垂直，另一棱与这两棱各成角a,求平行六面体的体积. 94.直三棱柱的底是一个周长为2印的等腰三角形，每个相等的角为α.过下底面等腰三角形的底边以及与上底面相对的顶点引一截面， 截面三角形的底角为B,求这个柱体的体积. 5.正棱锥的高为h,已知它的底面正多边形的内角和为n90°，又知锥体侧面积和底面积的比为k。求锥体的体积 96.在球面上一点引三个相等且彼此间的夹角为2a的弦.若球 的半径为R,求弦长 "97.-一梯形的上底为a,下底为2a,一腰为b,且此腰和下底间的夹角为α，求这梯形绕已知腰旋转后所得的体积. *98.锥体SABC的底是△ABC.AB和AC所成的角为a,且AB=AC=a.SBC面垂直于锥体的底，SBA,SCA面与底成P角.求锥体的侧面积 99.某人向一塔前进，在离塔基m处，测得塔顶上旗杆的张角α为最大，求证旗杆的长为2mga,塔高为mg(任会）[提示：过旗杆的两端和测点所作的圆，与地平线相切于测点，] ◆312● ==========第321页========== 100.两杆相距12m,在两杆底部互相测得一杆的仰角为另一杆的仰角的2倍，如果在两杆距离的中点，测得两杆的两个仰角互为余角，求两杆的长 101.某人在高处望见正东海面上一船首，它的俯角为30°，当该船向正南航行a浬后，望其船首的俯角为15°，这人的视点高出海面多少？ 102.有一个圆形的水池，设A,B为池外的两点，从4点测得和 圆池相切的视线AD,AC与AB所成的角是∠DAB=a,∠CAB=B;从B点测得和圆池相切的视线与AB所成的角是∠EBA=a,∠FBA= B.如果AB=a,求水池的半径. a A (第102题) (第104题) 103.某人在地面上B处测得对面山顶P的仰角是65°，向山脚 走前800m,就走.上一个坡度是30°的山坡，再走前800m,测得P的仰角是78°；求山的高度. 104.开垦了一块四边形的荒地ABCD,现测得AB=187.5m, ∠CAD=5630',∠BAC=485,∠ABD=3730',∠CBD=6510', 求这块荒地的面积。 105.某人在一直向北的路上前进，至某处时见远处两建筑物在同 一方向，与路的方向成角α，再向前行c后见两建筑物的张角为B,且较 近建筑物在正东。求证两建筑物的距离为2e sin a sin 8 cos(2a+8)+Cos B ◆813◆ ==========第322页========== 106.某人测得岩石的仰角为4712，依32°的斜坡向岩上行100m,测得其仰角为7732.求这岩高出第一测点的高度. 107.有不可到达的A与B两点，除D点外，没有其他的点可望见 A和B.任取一点C可望见A和D,测得CD为200m;∠ADC=89°：∠ACD=5030.又任取一点E可望见D与B,满得DE为200m; ∠BDE=5430;∠BED=8830'.在D点测得∠ADB=7230'..求 A与B间的距离。· 411y 40m 60m (第107瓶) (第108题) 108.在距塔基40m的斜面上，测得塔所张的角为4119'；更远60m处，测得塔所张的角为23°45.求塔高（精确到0.1m): 109.一只船以每小时15浬的速度向船坞A行驶，于A的正西10 浬处的一点B测得此船的方向为东偏北42°。若这船于三刻钟内抵坞， 求初测时与B的距离. 110.由平地上的一点O测得山坡上的两点P与？的仰角各为38° 与25°；由0至山麓A的距离为500m,丽A日的长为320m.已知各 点都在同一铅直面内，求P?的长和山坡的斜度. 111.一架飞机以每小时180km的等速度向东飞行，.一人见此机在其北而仰角为930、一分钟后其方向变为北偏东62°.若此机的高f3146 ==========第323页========== 度为一定，求它的高和第二次观测时的仰角. *112.某人在岸上望见海中两浮标在一直线上，此线与海岸线所成的角为a。此人沿岸向前走一距离，这两浮标对于此人所张的角为a, ·再向前走一距离b,见所张的角仍为a。设海岸为一直线，此人的高度 不计，求证两浮标间的距离为(+)eca-2a(a+b) 2a +bcosa 113.有每边长80m的正三角形地.今于这三角形中建一塔，由三角形的各顶点测得塔顶的仰角的正切各为√③+1，√2，√2.求塔高. "114.在曲柄机构的装置中，OA为20cm长的曲柄绕0而转动；连此曲柄为一50cm长的轴AP,P在过O的直线上左右移动，当P由最 远点移至全程的子，星处时，求0A与OP间所成的角， (第114短) ◆815● ==========第324页========== 习题答案 第一章 习1.11.0.7760,0.6428,1.1918,0.8391,1.5557,1.3054； 2.40,9,4094141 4红’4红’9’40’9’408点器意号；y9,专w, 4. :5.V5,2V55 5’5,2°，V5; 6.2mn2mn m2+n2 m+m2アm 7.2Vmn.m一n“ m+n’m+n,1. 习题121.约30；2.约45；5.约51；6.约51°.习题1.8 1.0.42.3√z1 2,2,含3.8in19,g4450,ecIo. 习知141@8-7,阅4+3，品， (4)1,(5)1,(6)1,(7)1;2.(1)60°，(2)60°，(3)45°， (4)50;4.V2. 习题161.(1)负，(2)正，(3)负，(4)负，（⑤5）负，(6)正， (7)正，(8)0，(9)0，(10)0；2.(),)1,3)0, (41,(⑤)1，(6)4V3 3 习题17(1)3.1. 习题17(2)2.3858;3.2019';4.2325';5.2823'; 6,v5,悟 15. 习题18(1)1.(1)B=5425',a=20.37,b=28.46, (2)A=2854,a=152.6,b=276.4;2.28.21cm,20.53cm; ·816◆ ==========第325页========== 3.4.816m,6.881m;4.8.668m;5.2.em. 习题18(2)1.(1)B=50°45,8=37.28，c=58.92,、(2)A=22°40'，a=41.76,c=08.4;2.C=3520',B=7220',AC=B0=25.41cm,AB=15.44cm;3.A=4938',BC=12.72cm,AC=10.81cm,AB=16.9cm;4.9.96cm;5.145.5m; 6.60.92m,10.09m. 习题18(8)1，(1)A=B=45°，b=50,(2)A=7344, B=1616,a=24;2.8.961cm,8.078cm,5334,3.正十边形， 9.511cm;4.10.e6cm,17.84cm. 习题1.8(4)1.·(1)A=30°，B=60°，c=2√5， (2)A=6155,B=285,c=25.51;2.156.5,910';3.8.078,6812';4.AB-14.94c1m,AC=15.40cm,A=7135',B=55°25， C=3°， 复习题一 1.7247242525.25’25’24’7’24’7； 2.(1)1,(2)1,(3)1; 4.(1)0,(2)0,(3)0;6.①)7+6V6-4W3 12 (2)(p-q)产，(3)317.(1)70°，(2)30°，60； 13.(p-q;14.(-n)8;15. 20W3m;16.15.75m; 17.236.6m;18.133写m;19.48.02m;20.B=56°43，AC=27.33cm,BC=17.95cm,BA=32.70cm;21.4=4834', B=4126,AC=27.20cm,EC=30.81cm,.AB=41.11cm; 22.62.43cm,9.808cm;23.4.406cm,4.531cm. 第二章 习题2.13.n30°+90°，n360°+180°，n.360°+240°； 4.n360°+270°，n360°+140°，1360°+240°； 5.18000°。 ?817.要 ==========第326页========== 习题2.22.(1)3,(2)5,()√51a,(4)5W/②，（⑤3， (6)√5； 3.(1)7.360°+60°，·(2)n.360°+315°， (3)n.360°+210°，(4)n.360°+135°， (5)n·360°+270°， (6)n360°，(7)n.360°+90°，(8)n360°+180；4.4，-4.习题231.79,-7,5,-y, 7 2.，-，：·3.010’ 3 ·5 4’3 4.2V√5 5 5°-2，-1 ;-5s V5,5; -,-,V5,- 2 习题2.41.(1)cos120°，g120°，ctg120°，sec120°， (2)eos280°，scc280°，·(3)sin560°，，cos560°，sec560°，coec560°；2.(1)90°sin(-60),·(3)一个值，(4)无限多个值； 2.(1)从负数 到0的增加，()221m, 2 (3)2nm,(2n-1)c; 5.()nm+受，，(2②)脚，m+营(3)gx增加， ctg减少 习照84 1.(1)3c吵重话>要)9红- 2 aoL g 3个 3入-8 E 28 9L个L” SL个L ‘至名.56880(9)是g 五 8入()‘g个(e)“范 己e·(2) ()T 9币翳飞 9는t- 五 0(9)‘T(g))0)‘条'2乐⑧是①名 8 ￡个-它(+)분(-오사는T 、d 是员@)N倒)‘入) ‘￡个(？) ‘T(T)?(￡入-2)-‘个+？T.e五骝飞 "人egusus一人isgs00Ds00+人s00gats0s00+人s00gs000a的‘人πsg80s00一人sgs00”us-人s00gus08一人s00gs000s00·市 堡-《-)를《+名节骚K :99 8-E入9tZ5.69988 ==========第332页========== (3)√原+1；名.(1)in49+in2,2 (2)cos2x-sin4x, (3)-(nx+oae3a),(④com2, 习题4.81.(1)-2sin50sin9,(2)cos79cos28, ③)2Vgs子a(径-》，④4os9an岁s号， (5)2oe210°，(6)40sa+BcsB+Yc08y+a; 2 2 2 2.(1) 4in(a+）n(a-) (2)sin(a+B) sina sinacosB 2cos (3) (4)sinB cOS Cosa’ √/2cos (5) 45°-2 3.(1)g24,(2)tg2a,(3)g3, n含 (4)sin 3A 8in5A’ (5)g; 4.(1)6 2，(2)0,(3)0, (4)1 6· 习题4.91.√2in(45°+x); 2.-2c06(x+30)5 3.√乞sinx;4.√2cosx;5.17in(x+6156'). 复习题四 1:- 40√6 4 71； 2.m(3-m); mtn 5.(1)0, (2) 6. 4-a- a+8i /a+6 7.avb-a 10.9. ·824· ==========第333页========== 第五章 习题5.31.(1)C=75°， b=35.46, c=53.29, (2)A=3410,a=2402,b=4211,(3)G=55°，a=56.10,b=70.74, (4)A=67°， b=11.82, c=14.19; 2.2√6：1+√3；3.0.4044m;4.233.3;6.1.000km, 1.219km. 习题5.41.(1)有二解，(2)有一解，(3)有一解，(4)无解， (5)无解2.在△AB1C1中，B1=6610,C1=58°26，c1=18.63, 在△AB2C2中，B2=11350',C2=10°46， c2=4.079; 3.C=53°19，A=17°41'，a=7.508;4.无解；5.无解； 6.B=90°，G=53°，c=15.97;7.120.3m;8.124.6cm, 习题6.68.A=120°. 习题5.61.(1)A=11954,B=316,c=52.60, (2)B=7438,C=374,a=192.7,(3)A=49°4，C=797,b=104.1;2.592.8m3.204;4.m2+3m2;5.4.927km.习题6.71.(1)45°，60°，75°，(2)130°42,23°27,2551； 2.120:3.90°；4.30；5.104°29，·7.117.550m; 8.86°25,5849,93°35,121°11'. 复习题五 1.(1)B=65°32，b=447.4,c=425.7,(2)A1=7012, B1=57024,b1=28.79,A2=109°48，B2=17°48，b2=10.45, (3)A=5430',B=47°48，b=50.54,·(4)B=303,C=90°，b÷5.008,(5)无解；5.6.857cm; 9.27(3-V√3)m, 27(√/6-√/2)m;12.41km;·18. asin 8cos(2a+B) 第六章 习题8.13.(1)1145'，7816，(2)11922，(3)1734， ·828· ==========第334页========== 7734, (4)832, 27832; 4.n360°±6858； 5.n.90°+4°15. 习题621.49.45; 2.1.037; 3.-0.1020; 4.68°； 5.5049;6.6522;.7.4.423;8.-2.261;9.-0.5603习题6.31.B=2250,a=370.5,b=156.0;2.A=4341,a=0.5961,c=0.8632;3.A=68°26，b=0.3245,·c=08827; 4.A=43°23'，B=4637，a=63.54;5.A=2213,B=67°47'，c=11.27;6.50.68m;7.12.49cm;8.28.33秒习惠6.41.C=55°20，b=567.6,c=664.0;2.C=3327',4=1943,b=3394;3.48.2cm,21.2cm;,4.4.e07km, 4.250km;5.46.05m;6.28.06cm. 习题6.61.B1÷5921',B2=12039,C1=7314,C2=1156, c1=7.884,c2=1.702;2.A=3240,C=10912,c=0.2150 3.无解；4.B=303',C=90°，·b=5.009;·5.249.24cm; 6.42.85cm. 习题661.4054,19°6；2.108°26'，1826'；3.习厘67`1.A=5731,C=8247,b=452.3;2.4=9059, B=948,c=87.23;3.304.6cm,476.6cm;4.61.6om; 5.148.9cm;6.19.25cm. 习题6.91.A=1812,B=13551',℃=2557'；2.4=5432， B=82°52，C=4236;3.117.6cm;4.60°；5.7639.习题6.101.5113平方单位； 2.70.52平方单位； 3.931.0cm2;4.488.4m2; 5.215.9cm2. 习题6.114.20.6cm;5.192.6,5974平方单位；6.10.3cm,习题6.12 2.4.77cm. 复习题六 1.1.377;2.12.18;3.68°9；4.157； 5.(1)181.1 236.7,(2)525.8.661.3,(3)4130,48.04,(4)2439, 4.68；6.27.8cm;·7.14.8cm,17.cm; 8.4=130°38， ·328· ==========第335页========== ●记8 ②·盗(g@)0)‘-e‘()需田.g0g‘员-)T多·(2) ·‘2I20(T)e !+地-8000.B 9o吧 (g) (侵-）3e() (运-）))*62I'0800电(2) s ( 墙用Ig6市t(g)‘0L69(亿)臣⑩江8七骚飞 :I5, (2)x+1的实数， (3){x>2. 习题761.(1) 6，、(2)3()， (4)5036, (5)15255,(6)2；&.)et9,a)ree(-哥》 (3)arcctg方3' (4)(-V2)-言，（⑤2aeg号； 3.(1)3 -2’ 5.(，②，(8)营，（④营6.(-，，0,2m) 7.(1)1.3,(2)不存在，(3)-1，(4)不存在，（⑤）不存在； 8.V? 2，1;9.、(1)x>0,(2)>0.习题7,61. 3 (3)0,·(4)1, ●.828a ==========第337页========== の(V6-3.a52a8 4.1;5器；.9 7.-VW3. 习题7.71.(1)0，(2)元. 复习题七 2 1.(1) 3 W10 √/5+1(2) (3) 10,(4)0; 2.2 arc sin2a;3.arccos-2+b2-c2 2ab 91.山0，②号 12.(1)5 (a)V 32，.(3)V3;.14., 15.1./3 2V7 第八章 习题8.11.-3≤a≤1；2.1a>1;3.a=-1;4.a≠1； 5.a=b时=2m+受，a+b时无解；6.2nm+号，2m+1)m-影； 7.2nr±arc cos0.7342; 8.2x-至，(2n+1)m+堂： 10.nx+6. 习题821.管 2. 530,②n+0: 5 3.(6m-1)120°±270； 4+，受-：2 5.无解；6.m土音；7，管±言；8，； 2 9.ne. 习题891.2nm+受；2.mm士膏；3.nm士学 4.2,4m+管，(n+2-音；5.4土等；6.(2a+1 0829◆ ==========第338页========== 7.2am,2n±号；8.m+量，n180°+538；9.+室； 10.m,2士学，2nm士,11.2nx; .2土0： 13.2nr; 14,nr.. 习题84 1.nc;2.‘无解；3.m土量m;4,; 5.m,2nr-(+1)-+:6.2nw士号；7.nx; 2m, 8.nc,2nc土3；.9.m-、10.2,2m-赏； 11.2nx,-2+；.+号，学； 13.(-).(m+)14.,2m+，m+용 15.无解；16.n,m-至17.nm+受，土 3 习题851.2nm,2m+爱： 8.2m+言±： 3.2m+,(2+1音：生.2mm-蛋5.2mc-32mm+营；6.2m,2mm-多；7，n-360+4624,n-30°+90°； 8.(（②a+1)而，2mm+营；9.3652,538. 习题8.61.n元-5m. 12；2.n.180°+5444；3.n.180°+6326， 8.180°+5619'； 4.n180°+45°，.n.180°+2634； 5.2n和士营nm+学} 6.4no,2n+2arb 7.na+arc tg-b±V6-4c 2a 8.m360°+1438， .360°-11237； 9.w.36°+9°，n36°+137'； 10.n而一4’ n.180°+78°41'. 习题871.(1)一个，(2)两个；2.0；3. *30r ==========第339页========== ,降士经 4。 5.0.97. 复习题八 1.()无解， (2)无解， (3)无解， (④)无解： 2.(1)a≥√2， 31as子， (3)lal<√2， (4)-30,a=0;3.(1)0,V7 4 4 (2)/W5-i 2- -V,(8)0,, 1 2 (4)没有解； 54.)g=士4n+D西，.②=罗2m+, 2 (3)心=士V2n元n取非负的整数； 55.n.90°+4230'； 56.警，(2n+1;8 57.(+1958.受(2m+1, n十岛，(2n+1)元-2 12 59.2n+1),n际土客； 60.是(8m+3)j 61. 품(4-1)， 空（8士1； 2.2n,m+圣；63.受3别士1方64.m+壹a0i(4-2V③)，2m+1)年- 2 arc sin(4-2v3);2 65.n 3,开(2m+1 6.nm+家 n元士- 67.2nt士 68.品〈2m+1), 중(2+), (n+1) 69.1.60°； 四=n死+ 70. 6 c=(n+m)m士号 71. g=-nm+各 y=(n-m)r士 72.rx=(4n+1)45°， Jx=(6n+1)30°， ly=(1-6)30;.y=(1-4n)45; 3=，6 或p=5,9=0; 82.(Wg+1(侵+V1+eo510):83.8.8m;85.2arcgi8 86.2R gin2a; 87.√Rr; 88.500g36°cos72°cmm2; 80.兰cg15s0°，an, 交cosee I80 ·388· ==========第342页========== cg180na? 93.abcV-cos2a(因2a>90°，所以-cos2a>0: 94.si()sin() 95.(n+4)8 g 360°16 cos 号coB6(6-1)%+4 96.4R√in(60°+a)8in(60°-a; 97ina; 7 98.a2 sin a 2c08p（im受np+1 100.9m和4m; 1 101.V2(V3-1)浬； asin方(d+8）sin室(8-a） 102.y=血雪a+8叶以+的 103.5547m;104.55100m,106.103.68m;107.345.4m; 108.56.6m; 109.16.47浬； 110.329m,6620; 111.266.9m,430;113.80m;114.4927,7828,11089, .038 ==========第343页==========